(a) Determine uma função f tal que F=nabla f e (b) use o item (a) para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C fornecida.
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F(x, y)=lang<= 2 x, 4 yrang<=,
C é o arco da parábola x=y^2 que vai de (4,-2) a (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que:
(a) Encontrar uma função $ f $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. Aqui, estamos trabalhando com gradiente de uma função, que é um conceito de Cálculo Vetorial. Pra isso, vamos precisar entender como encontrar uma função potencial.
(b) Usar a função $ f $ que encontramos no item (a) pra calcular a integral de linha $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ sobre a curva $ C $. Essa parte envolve integração de campos vetoriais ao longo de uma curva específica.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a função $ f $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. O gradiente $ \nabla f $ de uma função $ f(x, y) $ é dado por:
f
Sabemos que $ \mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 4y \rangle $. Então, temos:
F = nabla f

Passo 3

Vamos integrar $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x $ em relação a $ x $ para encontrar $ f $:
partial fpartial x = 2x
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende só de $ y $ porque a derivada em relação a $ x $ eliminou qualquer termo que dependesse exclusivamente de $ y $.

Passo 4

Agora, vamos usar $ \frac{\partial f}{\partial y} = 4y $ para encontrar $ g(y) $. Sabemos que $ f(x, y) = x^2 + g(y) $, então:
partial fpartial y = 4y
Integrando isso em relação a $ y $:
g(y)
Onde $ C $ é uma constante de integração. Para simplificar, podemos considerar $ C = 0 $.

Passo 5

Então, juntando tudo, a função $ f $ que procuramos é:
f

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ usando a função potencial $ f $. Uma propriedade útil aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
integralC F cdot dr

Passo 7

Vamos identificar os pontos inicial e final da curva $ C $:
  • Ponto inicial: $ (4, -2) $
  • Ponto final: $ (1, 1) $
Calculando $ f $ nesses pontos:
C
(4, -2)

Passo 8

Aplicando a fórmula do teorema fundamental:
integralC F cdot dr = f(1, 1) - f(4, -2) = 3 - 24 = -21

Resposta

A integral de linha $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ vale -21.

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