(a) Determine uma função
tal que
(b) use o item (a) para calcular
sobre a curva
fornecida.
17
,
é o arco da parábola
que vai de
a
17
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que:
(a) Encontrar uma função $ f $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. Aqui, estamos trabalhando com gradiente de uma função, que é um conceito de Cálculo Vetorial. Pra isso, vamos precisar entender como encontrar uma função potencial.
(b) Usar a função $ f $ que encontramos no item (a) pra calcular a integral de linha $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ sobre a curva $ C $. Essa parte envolve integração de campos vetoriais ao longo de uma curva específica.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a função $ f $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. O gradiente $ \nabla f $ de uma função $ f(x, y) $ é dado por:
Sabemos que $ \mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 4y \rangle $. Então, temos:
Passo 3
Vamos integrar $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x $ em relação a $ x $ para encontrar $ f $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende só de $ y $ porque a derivada em relação a $ x $ eliminou qualquer termo que dependesse exclusivamente de $ y $.
Passo 4
Agora, vamos usar $ \frac{\partial f}{\partial y} = 4y $ para encontrar $ g(y) $. Sabemos que $ f(x, y) = x^2 + g(y) $, então:
Integrando isso em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante de integração. Para simplificar, podemos considerar $ C = 0 $.
Passo 5
Então, juntando tudo, a função $ f $ que procuramos é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ usando a função potencial $ f $. Uma propriedade útil aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
Passo 7
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva $ C $:
- Ponto inicial: $ (4, -2) $
- Ponto final: $ (1, 1) $
Calculando $ f $ nesses pontos:
Passo 8
Aplicando a fórmula do teorema fundamental:
Resposta
A integral de linha $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ vale -21.