Em cada parte, calcule
ao longo da curva
e compare sua resposta com o resultado obtido no Exemplo 5.
consiste no segmento de reta de
até
, seguido pelo segmento de reta de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
ao longo de uma curva
. A curva
é formada por dois trechos de reta: primeiro de
até
e depois de
até
.
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolvem integrar uma função vetorial ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos dividir a curva
em duas partes, calcular a integral em cada trecho e depois somar os resultados.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro trecho da curva, que vai de
até
. Note que nesse trecho, a coordenada
não muda; ela permanece constante em
. Apenas a coordenada
varia de 4 para 1.
Como
é constante, podemos parametrizar esse segmento de reta usando uma variável
que varia de 4 a 1:
O diferencial
será a derivada de
em relação a
:
E
será:
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na integral para o primeiro trecho:
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de 4 a 1:
Então, a integral no primeiro trecho
é
.
Passo 5
Vamos para o segundo trecho da curva, que vai de
até
. Dessa vez, a coordenada
permanece constante em
, enquanto
varia de 1 para 3.
Vamos parametrizar esse trecho usando uma variável
que vai de 1 a 3:
Os diferenciais são:
Passo 6
Substituindo na integral para o segundo trecho:
Simplificando:
Passo 7
Calculando essa integral:
Avaliando de 1 a 3:
Então, a integral no segundo trecho
é
.
Resposta
Somando as integrais dos dois trechos:
Portanto, o valor da integral
ao longo da curva
é
.