Em cada parte, calcule integralC 2 x y^3 d x+(1+3 x^2 y^2) d y ao longo da curva C e compare sua resposta com o resultado obtido no Exemplo 5.
C consiste no segmento de reta de (1,4) até (1,1), seguido pelo segmento de reta de (1,1) até (3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ao longo de uma curva . A curva é formada por dois trechos de reta: primeiro de até e depois de até .
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de linha, que envolvem integrar uma função vetorial ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos dividir a curva em duas partes, calcular a integral em cada trecho e depois somar os resultados.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro trecho da curva, que vai de x(t) = 1 y(t) = t com t in [4, 1] até dx = dxdt dt = 0 cdot dt = 0 . Note que nesse trecho, a coordenada dy = dydt dt = 1 cdot dt = dt não muda; ela permanece constante em . Apenas a coordenada varia de 4 para 1.
Como é constante, podemos parametrizar esse segmento de reta usando uma variável que varia de 4 a 1:
O diferencial será a derivada de em relação a :
E será:

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na integral para o primeiro trecho:
integralC1 2xy^3 , dx + (1 + 3x^2 y^2) , dy = integral4^1 [2 cdot 1 cdot t^3 cdot 0 + (1 + 3 cdot 1^2 cdot t^2) cdot dt ]
Simplificando:
integral4^1 [0 + (1 + 3t^2) ] dt = integral4^1 (1 + 3t^2) , dt

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
integral (1 + 3t^2) , dt = integral 1 , dt + 3 integral t^2 , dt = t + t^3 + C
Agora, avaliamos de 4 a 1:
[ t + t^3 ]4^1 = (1 + 1^3) - (4 + 4^3) = (1 + 1) - (4 + 64) = 2 - 68 = -66
Então, a integral no primeiro trecho é .

Passo 5

Vamos para o segundo trecho da curva, que vai de x(s) = s y(s) = 1 com s in [1, 3] até dx = dxds ds = 1 cdot ds = ds . Dessa vez, a coordenada dy = dyds ds = 0 cdot ds = 0 permanece constante em , enquanto varia de 1 para 3.
Vamos parametrizar esse trecho usando uma variável que vai de 1 a 3:
Os diferenciais são:

Passo 6

Substituindo na integral para o segundo trecho:
integralC2 2xy^3 , dx + (1 + 3x^2 y^2) , dy = integral1^3 [2 cdot s cdot 1^3 cdot ds + (1 + 3s^2 cdot 1^2) cdot 0 ]
Simplificando:
integral1^3 [2s + 0 ] ds = integral1^3 2s , ds

Passo 7

Calculando essa integral:
integral 2s , ds = s^2 + C
Avaliando de 1 a 3:
[ s^2 ]1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8
Então, a integral no segundo trecho é .

Resposta

Somando as integrais dos dois trechos:
-66 + 8 = -58
Portanto, o valor da integral ao longo da curva é .

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