Usando as regras de derivação, calcule f^prime(x) de:
f(x)=3 t x^3+t x^x+6 t x^2+t

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de
f(x)=3 t x^{3}+t x^{x}+6 t x^{2}+t, usando regras de derivação (soma, constante multiplicativa, power rule e derivada de função da forma x^{x}).

Passo 2

Aplicamos a regra da soma: a derivada de f(x) é a soma das derivadas de cada termo, isto é,
f’(x)=
\frac{d}{dx}(3t x^{3})
+\frac{d}{dx}(t x^{x})
+\frac{d}{dx}(6t x^{2})
+\frac{d}{dx}(t).

Passo 3

Para os termos polinomiais e constantes multiplicativas usamos o power rule e que a derivada de constante é zero:
\frac{d}{dx}(3t x{3})=3t\cdot3x{2}=9t x^{2},
\frac{d}{dx}(6t x^{2})=6t\cdot2x=12t x,
\frac{d}{dx}(t)=0.

Passo 4

Agora derivamos t x^{x}. Como t é constante, basta derivar g(x)=x^{x}. Escrevemos
g(x)=e^{x\ln x}
para usar a regra da cadeia. Assim:
g’(x)=e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x)
= x^{x} (\ln x +1).
Logo
\frac{d}{dx}(t x{x})=t,x{x}(\ln x+1).

Passo 5

Por fim, somamos todos os resultados para obter:
f’(x)=9t x^{2}+t x^{x}(\ln x+1)+12t x.

Resposta

f'(x)=9t x^2+t x^x(ln x+1)+12t x

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