Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
f(x)=x^2 e p=4

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2 no ponto de abscissa p=4. Para isso, vamos precisar da derivada de f e da forma ponto-inclinação da reta. Depois ainda vamos esboçar os dois gráficos.

Passo 2

Para encontrar o coeficiente angular da reta tangente, calculamos a derivada de f(x)=x^2:
f'(x)=2x

Passo 3

Agora avaliamos f e f' em x=4:
f(4)=4^2=16,
f'(4)=2cdot4=8
Assim, o ponto de tangência é (4,16) e o coeficiente angular m=8.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y-y0=m(x-x0)
Substituindo (x0,y0)=(4,16) e m=8, temos:
y-16=8(x-4)
Para finalizar, simplificamos:
y=8x-32+16
y=8x-16

Passo 5

Esboço dos gráficos: a parábola f(x)=x^2 tem vértice em (0,0) e abre para cima. A reta tangente y=8x-16 é uma linha inclinada positivamente, que toca a parábola exatamente em (4,16) e intercepta o eixo y em (0,-16).

Resposta

y = 8x - 16

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