Em cada parte, calcule
ao longo da curva
e compare sua resposta com o resultado obtido no Exemplo 5.
é o segmento de reta de
até
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral de linha:
sobre a curva
, que é um segmento de reta que vai do ponto
até
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração ao longo de uma curva na matéria de cálculo vetorial. Vamos precisar parametrizar a curva
de forma que possamos expressar
e
em função de um parâmetro, geralmente
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir
variando de 0 a 1, onde:
Então, temos:
Com isso, quando
, temos o ponto inicial
e quando
, chegamos ao ponto final
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas
e
:
Substituindo
e
na integral original, temos:
Vamos substituir os valores:
Essa integral pode ficar bem complicada para resolver diretamente, então vamos simplificar usando o fato de que o campo vetorial dado é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso mostra que
, então integrando:
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores da função potencial nos pontos inicial e final. Então, calculamos:
Resposta
A integral ao longo da curva
é igual a
.