Em cada parte, calcule integralC 2 x y^3 d x+(1+3 x^2 y^2) d y ao longo da curva C e compare sua resposta com o resultado obtido no Exemplo 5.
C é o segmento de reta de (1,4) até (3,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral de linha:
integralC 2xy^3 , dx + (1 + 3x^2y^2) , dy
sobre a curva , que é um segmento de reta que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração ao longo de uma curva na matéria de cálculo vetorial. Vamos precisar parametrizar a curva de forma que possamos expressar e em função de um parâmetro, geralmente .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = x0 + (x1 - x0)t = 1 + (3 - 1)t = 1 + 2t . Como y(t) = y0 + (y1 - y0)t = 4 + (1 - 4)t = 4 - 3t é um segmento de reta, podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir x(t) = 1 + 2t variando de 0 a 1, onde:
y(t) = 4 - 3t
Então, temos:
Com isso, quando , temos o ponto inicial e quando , chegamos ao ponto final .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dxdt = 2 e dydt = -3 :
integral0^1 [2x(t)y(t)^3 cdot dxdt + (1 + 3x(t)^2y(t)^2) cdot dydt] dt
integral0^1 [2(1 + 2t)(4 - 3t)^3 cdot 2 + (1 + 3(1 + 2t)^2(4 - 3t)^2) cdot (-3)] dt
Substituindo partial fpartial x = 2xy^3 e partial fpartial y = 1 + 3x^2y^2 na integral original, temos:
f(x, y) = integral 2xy^3 , dx = x^2y^3 + g(y)
Vamos substituir os valores:
partial fpartial y = 3x^2y^2 + g'(y) = 1 + 3x^2y^2
Essa integral pode ficar bem complicada para resolver diretamente, então vamos simplificar usando o fato de que o campo vetorial dado é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial g(y) = y + C tal que:
f(x, y) = x^2y^3 + y + C
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso mostra que , então integrando:
Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores da função potencial nos pontos inicial e final. Então, calculamos:
f(3, 1) - f(1, 4) = (3^2 cdot 1^3 + 1) - (1^2 cdot 4^3 + 4) = (9 + 1) - (64 + 4) = 10 - 68 = -58

Resposta

A integral ao longo da curva é igual a .

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