Em cada parte é dada uma matriz em forma escalonada por linhas. Por inspeção, encontre bases dos espaço linha e coluna de A. \left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar, por inspeção, bases do espaço linha e do espaço coluna da matriz
A matriz A já está em forma escalonada por linhas (row-echelon).
As linhas não-nulas são as quatro primeiras linhas; a quinta é a linha nula.
Observação imediata: existem pivôs (entradas líderes) nas colunas 1,2,3,4 e em linhas 1,2,3,4.]
Passo 2
O que é necessário entender (conceitos essenciais, explicados devagar):
Espaço linha de A (row space): é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelas linhas de A. Ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas de A.
Espaço coluna de A (column space): é o subespaço de \mathbb{R}^5 gerado pelas colunas de A.
Base de um subespaço: é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o subespaço.
Em uma matriz em forma escalonada por linhas, um procedimento padrão (que usamos aqui “por inspeção”) é:
Para o espaço linha: as linhas não nulas da forma escalonada formam uma base do espaço linha.
Para o espaço coluna: as colunas que contêm pivôs (as colunas-pivô) formam uma base do espaço coluna — mais precisamente, as colunas originais correspondentes às colunas-pivô são linearmente independentes e geram a imagem (colunas-pivô do A formam uma base da coluna de A).
Vou usar essas ideias e mostrá-las passo a passo.
Passo 3
Identificar pivôs e o posto (rank):
Observando a matriz, os pivôs são os elementos iguais a 1 que aparecem à esquerda de cada linha não-nula:
pivô na linha 1, coluna 1 (valor 1);
pivô na linha 2, coluna 2 (valor 1);
pivô na linha 3, coluna 3 (valor 1);
pivô na linha 4, coluna 4 (valor 1).
Logo, há 4 pivôs, então \operatorname{rank}(A)=4. Isso significa que dimensão do espaço linha é 4 e dimensão do espaço coluna também é 4.
Passo 4
Base do espaço linha — escolha por inspeção:
Como a matriz está em forma escalonada por linhas, as linhas não-nulas são automaticamentes geradoras do espaço linha e, além disso, são linearmente independentes (porque cada uma tem um pivô em uma coluna que as linhas abaixo não têm).
Logo, uma base natural do espaço linha é o conjunto das quatro primeiras linhas de A. Escrevendo-as como vetores linha:
Observe a coluna 1: só r_1 tem valor não-nulo nela (1), as linhas abaixo têm zero nessa coluna. Então, olhando a primeira coordenada da soma obtemos \alpha_1\cdot 1 = 0, logo \alpha_1=0.
Com \alpha_1=0, olhe a coluna 2: agora só r_2 tem o primeiro não-zero “novo” (pivô) em coluna 2 entre as linhas não consideradas, então \alpha_2\cdot 1 = 0 e \alpha_2=0.
Repetindo para coluna 3 e depois coluna 4 obtemos \alpha_3=0 e \alpha_4=0.
Conclusão: os coeficientes são todos zero, então os r_i são linearmente independentes.
Passo 6
Base do espaço coluna — escolha por inspeção:
Em forma escalonada, as colunas que possuem pivôs (colunas 1,2,3,4) correspondem a colunas linearmente independentes que geram o espaço coluna.
Aqui as colunas-pivô são exatamente todas as colunas da matriz (colunas 1 a 4). Assim uma base do espaço coluna é o conjunto formado por essas colunas (escritas como vetores coluna):
Olhe a coordenada correspondente à linha 4 (o quarto componente): nas colunas dadas, apenas c_4 tem entrada não-nula na linha 4 (valor 1 em c_4), então a equação na linha 4 força \beta_4=0.
Com \beta_4=0, olhe a linha 3: apenas c_3 tem entrada 1 nessa linha entre as colunas restantes, então \beta_3=0.
Em seguida, olhando a linha 2 obtemos \beta_2=0; finalmente, pela linha 1 vem \beta_1=0.
Portanto todos os coeficientes são zero, o que prova a independência linear das colunas-pivô.
Passo 8
Resumo e verificação rápida:
Dimensão do espaço linha = número de linhas não-nulas = 4.
Dimensão do espaço coluna = número de pivôs = 4.
As bases encontradas têm exatamente 4 vetores cada e satisfazem gerarem e serem independentes, então estão corretas.
Resposta
Base do espaço linha: \{(1,\,2,\,4,\,5),\;(0,\,1,\,-3,\,0),\;(0,\,0,\,1,\,-3),\;(0,\,0,\,0,\,1)\}
Base do espaço coluna: \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\}\]