Em cada parte é dada uma matriz em forma escalonada por linhas. Por inspeção, encontre bases dos espaço linha e coluna de A.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar, por inspeção, bases do espaço linha e do espaço coluna da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5\\[2pt] 0 & 1 & -3 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 1 & -3\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Informações dadas (resumidas e claras):
  • A matriz A já está em forma escalonada por linhas (row-echelon).
  • As linhas não-nulas são as quatro primeiras linhas; a quinta é a linha nula.
  • Observação imediata: existem pivôs (entradas líderes) nas colunas 1,2,3,4 e em linhas 1,2,3,4.]

Passo 2

O que é necessário entender (conceitos essenciais, explicados devagar):
  • Espaço linha de A (row space): é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelas linhas de A. Ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas de A.
  • Espaço coluna de A (column space): é o subespaço de \mathbb{R}^5 gerado pelas colunas de A.
  • Base de um subespaço: é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o subespaço.
  • Em uma matriz em forma escalonada por linhas, um procedimento padrão (que usamos aqui “por inspeção”) é:
    • Para o espaço linha: as linhas não nulas da forma escalonada formam uma base do espaço linha.
    • Para o espaço coluna: as colunas que contêm pivôs (as colunas-pivô) formam uma base do espaço coluna — mais precisamente, as colunas originais correspondentes às colunas-pivô são linearmente independentes e geram a imagem (colunas-pivô do A formam uma base da coluna de A).
      Vou usar essas ideias e mostrá-las passo a passo.

Passo 3

Identificar pivôs e o posto (rank):
  • Observando a matriz, os pivôs são os elementos iguais a 1 que aparecem à esquerda de cada linha não-nula:
    • pivô na linha 1, coluna 1 (valor 1);
    • pivô na linha 2, coluna 2 (valor 1);
    • pivô na linha 3, coluna 3 (valor 1);
    • pivô na linha 4, coluna 4 (valor 1).
  • Logo, há 4 pivôs, então \operatorname{rank}(A)=4. Isso significa que dimensão do espaço linha é 4 e dimensão do espaço coluna também é 4.

Passo 4

Base do espaço linha — escolha por inspeção:
  • Como a matriz está em forma escalonada por linhas, as linhas não-nulas são automaticamentes geradoras do espaço linha e, além disso, são linearmente independentes (porque cada uma tem um pivô em uma coluna que as linhas abaixo não têm).
  • Logo, uma base natural do espaço linha é o conjunto das quatro primeiras linhas de A. Escrevendo-as como vetores linha:
\begin{aligned} r_1 &= (1,\,2,\,4,\,5),\\[2pt] r_2 &= (0,\,1,\,-3,\,0),\\[2pt] r_3 &= (0,\,0,\,1,\,-3),\\[2pt] r_4 &= (0,\,0,\,0,\,1). \end{aligned}
Portanto esses quatro vetores formam uma base do espaço linha.]

Passo 5

Por que essas linhas são linearmente independentes (explicação detalhada):
  • Suponha que exista uma combinação linear que zera:
\alpha_1 r_1 + \alpha_2 r_2 + \alpha_3 r_3 + \alpha_4 r_4 = (0,0,0,0).
  • Observe a coluna 1: só r_1 tem valor não-nulo nela ( 1), as linhas abaixo têm zero nessa coluna. Então, olhando a primeira coordenada da soma obtemos \alpha_1\cdot 1 = 0, logo \alpha_1=0.
  • Com \alpha_1=0, olhe a coluna 2: agora só r_2 tem o primeiro não-zero “novo” (pivô) em coluna 2 entre as linhas não consideradas, então \alpha_2\cdot 1 = 0 e \alpha_2=0.
  • Repetindo para coluna 3 e depois coluna 4 obtemos \alpha_3=0 e \alpha_4=0.
  • Conclusão: os coeficientes são todos zero, então os r_i são linearmente independentes.

Passo 6

Base do espaço coluna — escolha por inspeção:
  • Em forma escalonada, as colunas que possuem pivôs (colunas 1,2,3,4) correspondem a colunas linearmente independentes que geram o espaço coluna.
  • Aqui as colunas-pivô são exatamente todas as colunas da matriz (colunas 1 a 4). Assim uma base do espaço coluna é o conjunto formado por essas colunas (escritas como vetores coluna):
\begin{aligned} c_1 &= \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad c_2 = \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\\[6pt] c_3 &= \begin{pmatrix}4\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad c_4 = \begin{pmatrix}5\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}. \end{aligned}]

Passo 7

Por que essas colunas são linearmente independentes (explicação detalhada):
  • Suponha que exista combinação
\beta_1 c_1 + \beta_2 c_2 + \beta_3 c_3 + \beta_4 c_4 = \mathbf{0}\in\mathbb{R}^5.
  • Olhe a coordenada correspondente à linha 4 (o quarto componente): nas colunas dadas, apenas c_4 tem entrada não-nula na linha 4 (valor 1 em c_4), então a equação na linha 4 força \beta_4=0.
  • Com \beta_4=0, olhe a linha 3: apenas c_3 tem entrada 1 nessa linha entre as colunas restantes, então \beta_3=0.
  • Em seguida, olhando a linha 2 obtemos \beta_2=0; finalmente, pela linha 1 vem \beta_1=0.
  • Portanto todos os coeficientes são zero, o que prova a independência linear das colunas-pivô.

Passo 8

Resumo e verificação rápida:
  • Dimensão do espaço linha = número de linhas não-nulas = 4.
  • Dimensão do espaço coluna = número de pivôs = 4.
  • As bases encontradas têm exatamente 4 vetores cada e satisfazem gerarem e serem independentes, então estão corretas.

Resposta

Base do espaço linha: \{(1,\,2,\,4,\,5),\;(0,\,1,\,-3,\,0),\;(0,\,0,\,1,\,-3),\;(0,\,0,\,0,\,1)\}
Base do espaço coluna: \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\[2pt]0\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\}\]

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