Calcule as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto de interseção das retas
r_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{x+1}{-1} \text { e } r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=2-t \\ y=4+t \\ z=-2+2 t \end{array} \text { é perpendicular ao plano } \pi_{1}: x-4 y+2 z-5=0 .\right.é

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as equações paramétricas da reta [r) que (a) passa pelo ponto de interseção de r_{1} e r_{2} e (b) é perpendicular ao plano \pi_{1}.
Informações dadas:
r_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{x+1}{-1}
r_{2}:\begin{cases} x=2-t\\[4pt] y=4+t\\[4pt] z=-2+2t \end{cases}
\pi_{1}: x-4y+2z-5=0
Observação importante (sobre uma possível ambiguidade no enunciado): no termo final de r_{1}\] aparece novamente \(x em \dfrac{x+1}{-1}. Isso provavelmente é um erro de digitação e o certo é \dfrac{z+1}{-1} (forma simétrica usual usa x,y,z). Eu não vou pedir confirmação; vou assumir que
r_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1},
ou seja, r_{1} passa por (1,2,-1) e tem vetor diretor (1,2,-1). Se essa interpretação estiver incorreta, não é possível prosseguir sem a correção.]

Passo 2

Converter r_{1}\) da forma simétrica para forma paramétrica (explico como fazer): quando temos \[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
introduzimos um parâmetro \,s igual a esse quociente comum e escrevemos
x=x_0+a s,\qquad y=y_0+b s,\qquad z=z_0+c s.
Aplicando isso a r_{1} com x_0=1,\;y_0=2,\;z_0=-1 e vetor diretor (1,2,-1), obtemos (escolhendo o parâmetro \,s):
r_{1}:\begin{cases} x=1+s\\[4pt] y=2+2s\\[4pt] z=-1-s \end{cases}
Aqui \,s\] varia em todos os reais e a relação entre \(s e as coordenadas é direta (por exemplo, se s=0 estamos no ponto (1,2,-1)).]

Passo 3

Escrevo r_{2}\) com o parâmetro dado (chamei de \(t\) no enunciado): \[r_{2}:\begin{cases} x=2-t\\[4pt] y=4+t\\[4pt] z=-2+2t \end{cases}
Para encontrar o ponto de interseção entre r_{1}\] e \(r_{2} igualamos as três coordenadas e resolvemos para os parâmetros s e t. Isso gera um sistema linear de três equações em s e t.]

Passo 4

Montar o sistema igualando coordenadas:
igualando x:
1+s = 2 - t
igualando y:
2+2s = 4 + t
igualando z:
-1 - s = -2 + 2t
Agora resolvemos passo a passo.
Da primeira equação:
1+s=2-t \quad\Longrightarrow\quad s + t = 1. \tag{1}
Da segunda equação:
2+2s=4+t \quad\Longrightarrow\quad 2s - t = 2. \tag{2}
Da terceira equação:
-1 - s = -2 + 2t \quad\Longrightarrow\quad -s -1 +2 = 2t \quad\Longrightarrow\quad -s +1 = 2t.
Isolando t:
t = \frac{1-s}{2}. \tag{3}

Passo 5

Substituo (3) na equação (1) para achar s:
s + \frac{1-s}{2} = 1.
Multiplicando por 2 para eliminar o denominador:
2s + 1 - s = 2 \quad\Longrightarrow\quad s +1 =2 \quad\Longrightarrow\quad s = 1.
Com s=1, da (3) obtemos
t = \frac{1-1}{2} = 0.
Verificação rápida: colocando s=1 em r_{1}
x=1+1=2,\qquad y=2+2\cdot1=4,\qquad z=-1-1=-2.
Colocando t=0 em r_{2}
x=2-0=2,\qquad y=4+0=4,\qquad z=-2+2\cdot0=-2.
Portanto ambas representam o mesmo ponto. O ponto de interseção P é
P=(2,4,-2).

Passo 6

Entender a condição "reta r é perpendicular ao plano \pi_{1}" (aqui uma pequena aula): um plano dado por
ax+by+cz+d=0
tem um vetor normal (a,b,c) que é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano. Se queremos uma reta r que seja perpendicular ao plano, então o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao vetor normal do plano. Ou seja, podemos escolher o vetor diretor de r igual ao vetor normal de \pi_{1}.
No nosso caso, \pi_{1} é
x-4y+2z-5=0,
logo seu vetor normal é
n=(1,-4,2).
Assim qualquer reta perpendicular a \pi_{1} tem vetor diretor proporcional a (1,-4,2). Para simplicidade escolhemos exatamente esse vetor como vetor diretor da reta r.

Passo 7

Formar as equações paramétricas de r\): uma reta com ponto \(P=(2,4,-2)\) e vetor diretor \(n=(1,-4,2)\) tem equações paramétricas (introduzimos parâmetro \(\,u\)): \[r:\begin{cases} x=2+1\cdot u\\[4pt] y=4-4\cdot u\\[4pt] z=-2+2\cdot u \end{cases}
Aqui \,u\in\mathbb{R}\]. Essa é a reta que passa por \(P e é perpendicular ao plano \pi_{1}.]

Resposta

x=2+u
y=4-4u
z=-2+2u

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