Em cada parte, determine o componente vetorial de
ao longo de
e o componente vetorial de
ortogonal a
. Então, esboce os vetores
, projb
proj
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores e pede duas coisas em cada parte:
- Vetores fornecidos:
-
. -
.
-
- O que é pedido:
- Determinar o componente de
ao longo de (ou seja, a projeção de sobre , denotada ). - Determinar o componente de
ortogonal a (ou seja, ). - Esboçar geometricamente
, e .
- Determinar o componente de
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): a projeção de um vetor
sobre outro vetor
é o vetor paralelo a
que representa a "parte de
na direção de
". A fórmula padrão é
Aqui:
-
é o produto escalar (ou dot product) entre e . -
é o quadrado da norma de (ou seja, ).
Antes de aplicar a fórmula, calculamos o produto escalar entree . Para vetores em coordenadas e ,
Aplicando aos vetores dados:
Passo 3
Agora calculamos
, que é
Isso também nos diz que
. Esses números vão direto na fórmula da projeção.
Passo 4
Aplicando a fórmula da projeção:
Agora multiplicamos o escalar
pelos componentes de
:
Explicando passo a passo: o numerador
veio do produto escalar
; o denominador
é
. Isso dá o fator escalar que indica "quanto de
" compõe
.
Passo 5
Agora encontramos o componente de
ortogonal a
, que é simplesmente a diferença entre
e sua projeção:
Fazendo as subtrações componente a componente (colocando tudo sobre
facilita):
Logo
Uma forma factorizada (útil para ver proporção) é
Passo 6
Verificações úteis (para você usar na prova como checagem rápida):
- Ortogonalidade: o produto escalar entre a projeção e a componente ortogonal deve ser zero. Calculando
logo são ortogonais — bom sinal.
2. Soma recompondo :
e
, portanto
.
3. Normas (opcional): a componente escalar de ao longo de
é
. A norma da componente ortogonal é
. Isso faz sentido porque
e
.
2. Soma recompondo
3. Normas (opcional): a componente escalar de
Passo 7
Como esboçar (passo a passo, para você desenhar rápido na prova):
- Desenha eixos
e . - Marca o ponto final de
em ; desenha uma seta do origem até esse ponto — esse é . - Marca a direção de
: um ponto em e desenha a reta que passa pela origem nessa direção (linha de direção de ). - A projeção
termina no ponto — desenhe uma seta da origem até esse ponto, sobre a reta direção de . - Finalmente, desenhe a seta da ponta da projeção até a ponta de
; essa seta é e será ortogonal à reta direção de . - Para clareza, rotule cada vetor. Assim fica evidente geometricamente que
é a soma (diagonal) da projeção (paralela a ) e da componente ortogonal (perpendicular a ).