Determine os cossenos diretores de \mathbf{v} e confirme que eles satisfazem a Equação (5). Então, use os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
\mathbf{v}=3 \mathbf{i}-4 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{v}=3\mathbf{i}-4\mathbf{k} e pede duas coisas:
  • Determinar os cossenos diretores de \mathbf{v} e confirmar que eles satisfazem a Equação (5).
  • Usar esses cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
Informações fornecidas que vamos usar (peguei diretamente do enunciado):
  • A componente em x é 3.
  • A componente em y é 0 (não há \mathbf{j}).
  • A componente em z é -4.
Observação: a “Equação (5)” pedida para confirmar é a relação padrão entre cossenos diretores:
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

Passo 2

O que são cossenos diretores e como calculá-los (mini-aula):
  • Para um vetor em \mathbb{R}^3 com componentes (v_x,v_y,v_z), os cossenos diretores são \ell=\cos\alpha=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|},\qquad m=\cos\beta=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|},\qquad n=\cos\gamma=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|},onde \|\mathbf{v}\| é o comprimento (norma) do vetor e \alpha,\beta,\gamma são os ângulos formados entre o vetor e os eixos x,y,z respectivamente.
  • A norma \|\mathbf{v}\| é dada por \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Explicando as letras: v_x é a componente ao longo de \mathbf{i} (eixo x), v_y é a componente ao longo de \mathbf{j} (eixo y), e v_z é a componente ao longo de \mathbf{k} (eixo z). As quantidades \ell,m,n são números entre -1 e 1.
Agora aplicamos isto ao vetor dado.

Passo 3

Calcular a norma de \mathbf{v}:
  • As componentes são v_x=3, v_y=0, v_z=-4 (peguei estas do enunciado).
  • Então \|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5.
Mostrei cada quadrado para ficar claro como se obteve o 25.

Passo 4

Calcular os cossenos diretores usando a definição:
  • Para o eixo x: \ell=\cos\alpha=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{3}{5}=0,6.
  • Para o eixo y: m=\cos\beta=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{0}{5}=0.
  • Para o eixo z: n=\cos\gamma=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{-4}{5}=-0,8.
Comentário amigável: repare que o sinal negativo em n indica que o vetor aponta no sentido negativo do eixo z.

Passo 5

Confirmar que os cossenos satisfazem a Equação (5):
  • Calculamos \ell^{2}+m^{2}+n^{2}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+0^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}+0+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1.
  • Portanto \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1,ou seja, os cossenos diretores satisfazem a Equação (5) exatamente.
Breve ideia por que isso acontece em geral: dividir cada componente pela norma e elevar ao quadrado e somar dá (v_x^2+v_y^2+v_z^2)/\|\mathbf{v}\|^2=1.

Passo 6

Converter os cossenos em ângulos diretores (mini-aula sobre arco cosseno):
  • O ângulo diretor \alpha é dado por \alpha=\operatorname{arccos}(\ell). A função \operatorname{arccos} fornece o ângulo em [0^\circ,180^\circ] cujo cosseno é o número dado.
  • Usamos as fórmulas: \alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{5}\right),\qquad \beta=\operatorname{arccos}(0),\qquad \gamma=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{4}{5}\right).
  • Valores conhecidos e aproximações:
    • \operatorname{arccos}(0)=90^\circ exatamente.
    • \operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{5}\right) é aproximadamente 53{,}1301024^\circ, arredondando ao grau mais próximo dá 53^\circ.
    • \operatorname{arccos}\!\left(-\frac{4}{5}\right) é aproximadamente 143{,}1301024^\circ, arredondando ao grau mais próximo dá 143^\circ.
Como checar mentalmente: \cos 53^\circ\approx0,6 e \cos 143^\circ=\cos(180^\circ-37^\circ)=-\cos37^\circ\approx-0,8, então os números batem com os cossenos calculados.

Resposta

(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\left(\dfrac{3}{5},\,0,\,-\dfrac{4}{5}\right), e satisfazem \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1\n
\alpha\approx53^\circ,\\ \beta=90^\circ,\\ \gamma\approx143^\circ

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