Determine os cossenos diretores de
e confirme que eles satisfazem a Equação (5). Então, use os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede duas coisas:
- Determinar os cossenos diretores de
e confirmar que eles satisfazem a Equação (5). - Usar esses cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
Informações fornecidas que vamos usar (peguei diretamente do enunciado):
- A componente em
é . - A componente em
é (não há ). - A componente em
é .
Observação: a “Equação (5)” pedida para confirmar é a relação padrão entre cossenos diretores:
Passo 2
O que são cossenos diretores e como calculá-los (mini-aula):
- Para um vetor em
com componentes , os cossenos diretores são onde é o comprimento (norma) do vetor e são os ângulos formados entre o vetor e os eixos respectivamente. - A norma
é dada por
Explicando as letras:
é a componente ao longo de
(eixo
),
é a componente ao longo de
(eixo
), e
é a componente ao longo de
(eixo
). As quantidades
são números entre
e
.
Agora aplicamos isto ao vetor dado.
Passo 3
Calcular a norma de
:
- As componentes são
, , (peguei estas do enunciado). - Então
Mostrei cada quadrado para ficar claro como se obteve o
.
Passo 4
Calcular os cossenos diretores usando a definição:
- Para o eixo
: - Para o eixo
: - Para o eixo
:
Comentário amigável: repare que o sinal negativo em
indica que o vetor aponta no sentido negativo do eixo
.
Passo 5
Confirmar que os cossenos satisfazem a Equação (5):
- Calculamos
- Portanto
ou seja, os cossenos diretores satisfazem a Equação (5) exatamente.
Breve ideia por que isso acontece em geral: dividir cada componente pela norma e elevar ao quadrado e somar dá
.
Passo 6
Converter os cossenos em ângulos diretores (mini-aula sobre arco cosseno):
- O ângulo diretor
é dado por . A função fornece o ângulo em cujo cosseno é o número dado. - Usamos as fórmulas:
- Valores conhecidos e aproximações:
-
exatamente. -
é aproximadamente , arredondando ao grau mais próximo dá . -
é aproximadamente , arredondando ao grau mais próximo dá .
-
Como checar mentalmente:
e
, então os números batem com os cossenos calculados.