Em cada parte, determine o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} e o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b}. Então, esboce os vetores \mathbf{v}, projb \mathbf{v} \mathbf{~ e ~} \mathbf{v}- proj _{\mathbf{b}} \mathbf{v}.
\mathbf{v}=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}, \mathbf{b}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede duas coisas em cada parte:
  • Vetores fornecidos:
    • \mathbf{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}.
    • \mathbf{b}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}.
  • O que é pedido:
    1. Determinar o componente de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} (ou seja, a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}, denotada \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}).
    2. Determinar o componente de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b} (ou seja, \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}).
    3. Esboçar geometricamente \mathbf{v}, \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} e \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): a projeção de um vetor \mathbf{v} sobre outro vetor \mathbf{b} é o vetor paralelo a \mathbf{b} que representa a "parte de \mathbf{v} na direção de \mathbf{b}". A fórmula padrão é
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}.
Aqui:
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar (ou dot product) entre \mathbf{v} e \mathbf{b}.
  • \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} é o quadrado da norma de \mathbf{b} (ou seja, |\mathbf{b}|^{2}).
    Antes de aplicar a fórmula, calculamos o produto escalar entre \mathbf{v} e \mathbf{b}. Para vetores em coordenadas \mathbf{v}=(v_x,v_y) e \mathbf{b}=(b_x,b_y),
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=v_x b_x + v_y b_y.
Aplicando aos vetores dados:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=(2)(3)+(-1)(4)=6-4=2.

Passo 3

Agora calculamos \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}, que é
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=3^{2}+4^{2}=9+16=25.
Isso também nos diz que |\mathbf{b}|=\sqrt{25}=5. Esses números vão direto na fórmula da projeção.

Passo 4

Aplicando a fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b} =\frac{2}{25}\,(3\mathbf{i}+4\mathbf{j}).
Agora multiplicamos o escalar \dfrac{2}{25} pelos componentes de \mathbf{b}:
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{6}{25}\mathbf{i}+\frac{8}{25}\mathbf{j}.
Explicando passo a passo: o numerador 2 veio do produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}; o denominador 25 é \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}. Isso dá o fator escalar que indica "quanto de \mathbf{b}" compõe \mathbf{v}.

Passo 5

Agora encontramos o componente de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b}, que é simplesmente a diferença entre \mathbf{v} e sua projeção:
\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} =(2\mathbf{i}-\mathbf{j})-\left(\frac{6}{25}\mathbf{i}+\frac{8}{25}\mathbf{j}\right).
Fazendo as subtrações componente a componente (colocando tudo sobre 25 facilita):
\text{componente em }\mathbf{i}:\;2-\frac{6}{25}=\frac{50}{25}-\frac{6}{25}=\frac{44}{25}.
\text{componente em }\mathbf{j}:\;-1-\frac{8}{25}=-\frac{25}{25}-\frac{8}{25}=-\frac{33}{25}.
Logo
\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{44}{25}\mathbf{i}-\frac{33}{25}\mathbf{j}.
Uma forma factorizada (útil para ver proporção) é
\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{11}{25}(4\mathbf{i}-3\mathbf{j}).

Passo 6

Verificações úteis (para você usar na prova como checagem rápida):
  1. Ortogonalidade: o produto escalar entre a projeção e a componente ortogonal deve ser zero. Calculando
\left(\frac{6}{25},\frac{8}{25}\right)\cdot\left(\frac{44}{25},-\frac{33}{25}\right) =\frac{1}{625}\big(6\cdot44+8\cdot(-33)\big)=\frac{1}{625}(264-264)=0,
logo são ortogonais — bom sinal.
2. Soma recompondo \mathbf{v}: \dfrac{6}{25}+\dfrac{44}{25}=2 e \dfrac{8}{25}-\dfrac{33}{25}=-1, portanto \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}+(\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v})=\mathbf{v}.
3. Normas (opcional): a componente escalar de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} é \dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}=\dfrac{2}{5}=0{,}4. A norma da componente ortogonal é |\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}|=\dfrac{11}{5}=2{,}2. Isso faz sentido porque |\mathbf{v}|=\sqrt{5}\approx2{,}236 e (0{,}4)^{2}+(2{,}2)^{2}=5.

Passo 7

Como esboçar (passo a passo, para você desenhar rápido na prova):
  • Desenha eixos x e y.
  • Marca o ponto final de \mathbf{v} em (2,-1); desenha uma seta do origem até esse ponto — esse é \mathbf{v}.
  • Marca a direção de \mathbf{b}: um ponto em (3,4) e desenha a reta que passa pela origem nessa direção (linha de direção de \mathbf{b}).
  • A projeção \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} termina no ponto \left(\dfrac{6}{25},\dfrac{8}{25}\right)\approx(0{,}24,0{,}32) — desenhe uma seta da origem até esse ponto, sobre a reta direção de \mathbf{b}.
  • Finalmente, desenhe a seta da ponta da projeção até a ponta de \mathbf{v}; essa seta é \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} e será ortogonal à reta direção de \mathbf{b}.
  • Para clareza, rotule cada vetor. Assim fica evidente geometricamente que \mathbf{v} é a soma (diagonal) da projeção (paralela a \mathbf{b}) e da componente ortogonal (perpendicular a \mathbf{b}).

Resposta

\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\dfrac{6}{25}\mathbf{i}+\dfrac{8}{25}\mathbf{j}
\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\dfrac{44}{25}\mathbf{i}-\dfrac{33}{25}\mathbf{j}

Exercícios relacionados