Em cada parte, determine o componente vetorial de
ao longo de
e o componente vetorial de
ortogonal a
. Então, esboce os vetores
, projb
proj
.
Passo 1
O enunciado fornece:
-
. -
.
O que é pedido:
- Determinar o componente vetorial de
ao longo de (isto é, ). - Determinar o componente de
ortogonal a (isto é, ). - Esboçar os vetores
, e .
Passo 2
Vamos lembrar a definição e a fórmula que usamos (explicando passo a passo).
- O produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores
e é
Isso serve para medir “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
- A projeção ortogonal de
sobre tem a fórmula
Aqui
é o produto escalar (número) e
é o quadrado da norma de
. O quociente dá um escalar que multiplica o vetor
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
.
Passo 4
Calcular
.
Passo 5
Aplicar a fórmula da projeção. Primeiro o escalar multiplicador:
Agora a projeção vetorial:
Se preferir em decimal:
.
Passo 6
Calcular o componente ortogonal (subtração componente a componente). Usamos
Fazendo as contas:
Logo
Em decimal:
.
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): mostrar que o componente ortogonal é realmente ortogonal a
calculando o produto escalar.
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais — está correto.
Passo 8
Instruções para o esboço (como desenhar na prova, sem precisar muito rigor):
- Pontos importantes a marcar:
- Origem
. - Extremidade de
: . - Extremidade de
: . - Extremidade de
: .
- Origem
- Desenho sugerido:
- Desenhe
como flecha de a . - Desenhe
como flecha de a (esta aponta na direção de , que tem declive negativo). - Desenhe
como flecha de a ; essa flecha é perpendicular à . - Alternativamente, pode desenhar o triângulo de decomposição com
saindo de até e saindo de até (esses dois somam para ).
- Desenhe