Em cada parte, determine o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} e o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b}. Então, esboce os vetores \mathbf{v}, projb \mathbf{v} \mathbf{~ e ~} \mathbf{v}- proj _{\mathbf{b}} \mathbf{v}.
\mathbf{v}=\langle 4,5\rangle, \mathbf{b}=\langle 1,-2\rangle

Passo 1

O enunciado fornece:
  • \mathbf{v}=\langle 4,5\rangle.
  • \mathbf{b}=\langle 1,-2\rangle.
O que é pedido:
  • Determinar o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} (isto é, \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}).
  • Determinar o componente de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b} (isto é, \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}).
  • Esboçar os vetores \mathbf{v}, \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} e \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e a fórmula que usamos (explicando passo a passo).
  • O produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores \mathbf{u}=\langle u_1,u_2\rangle e \mathbf{w}=\langle w_1,w_2\rangle é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_1 w_1 + u_2 w_2.
Isso serve para medir “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
  • A projeção ortogonal de \mathbf{v} sobre \mathbf{b} tem a fórmula
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}.
Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar (número) e \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{b}\|^2 é o quadrado da norma de \mathbf{b}. O quociente dá um escalar que multiplica o vetor \mathbf{b}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}.
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b} = 4\cdot 1 + 5\cdot(-2) = 4 - 10 = -6.

Passo 4

Calcular \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{b}\|^2.
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b} = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5.

Passo 5

Aplicar a fórmula da projeção. Primeiro o escalar multiplicador:
\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}=\frac{-6}{5}.
Agora a projeção vetorial:
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{-6}{5}\,\mathbf{b}=\frac{-6}{5}\langle 1,-2\rangle=\left\langle -\tfrac{6}{5},\tfrac{12}{5}\right\rangle.
Se preferir em decimal: \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\langle -1{,}2,\;2{,}4\rangle.

Passo 6

Calcular o componente ortogonal (subtração componente a componente). Usamos
\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\langle 4,5\rangle-\left\langle -\tfrac{6}{5},\tfrac{12}{5}\right\rangle.
Fazendo as contas:
4 -\left(-\tfrac{6}{5}\right)=4+\tfrac{6}{5}=\tfrac{20}{5}+\tfrac{6}{5}=\tfrac{26}{5},
5 - \tfrac{12}{5}=\tfrac{25}{5}-\tfrac{12}{5}=\tfrac{13}{5}.
Logo
\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\left\langle \tfrac{26}{5},\tfrac{13}{5}\right\rangle.
Em decimal: \langle 5{,}2,\;2{,}6\rangle.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): mostrar que o componente ortogonal é realmente ortogonal a \mathbf{b} calculando o produto escalar.
\left\langle \tfrac{26}{5},\tfrac{13}{5}\right\rangle\cdot\langle 1,-2\rangle =\tfrac{26}{5}\cdot 1 + \tfrac{13}{5}\cdot(-2) =\tfrac{26}{5}-\tfrac{26}{5}=0.
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais — está correto.

Passo 8

Instruções para o esboço (como desenhar na prova, sem precisar muito rigor):
  • Pontos importantes a marcar:
    • Origem O=(0,0).
    • Extremidade de \mathbf{v}: V=(4,5).
    • Extremidade de \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}: P=\left(-\tfrac{6}{5},\tfrac{12}{5}\right)=(-1{,}2,\,2{,}4).
    • Extremidade de \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}: W=\left(\tfrac{26}{5},\tfrac{13}{5}\right)=(5{,}2,\,2{,}6).
  • Desenho sugerido:
    • Desenhe \mathbf{v} como flecha de O a V.
    • Desenhe \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} como flecha de O a P (esta aponta na direção de \mathbf{b}, que tem declive negativo).
    • Desenhe \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} como flecha de O a W; essa flecha é perpendicular à \mathbf{b}.
    • Alternativamente, pode desenhar o triângulo de decomposição com \mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} saindo de O até P e \mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} saindo de P até V (esses dois somam para \mathbf{v}).

Resposta

\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\left\langle -\tfrac{6}{5},\tfrac{12}{5}\right\rangle
\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\left\langle \tfrac{26}{5},\tfrac{13}{5}\right\rangle

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