Em cada parte, determine o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} e o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
\mathbf{v}=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}+3 \mathbf{k}, \mathbf{b}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}+2 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{v} e \mathbf{b} e pede duas coisas:
  • o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} (ou seja, a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b});
  • o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b} (ou seja, a parte de \mathbf{v} perpendicular a \mathbf{b}).
Os vetores fornecidos são:
\mathbf{v}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}, \qquad \mathbf{b}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}.

Passo 2

Vou explicar a fórmula que usamos (passo-a-passo, sem pressa). Para projetar um vetor \mathbf{v} sobre outro vetor \mathbf{b} usamos a projeção vetorial:
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}\,\mathbf{b}.
O raciocínio por trás:
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar; mede quanto \mathbf{v} “aponta na direção de” \mathbf{b}.
  • \|\mathbf{b}\|^2 é o quadrado da norma de \mathbf{b}, usado para transformar esse valor escalar em um fator multiplicativo do próprio vetor \mathbf{b}.
  • O resultado é um vetor paralelo a \mathbf{b} cujo comprimento corresponde à componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{b}.
A componente ortogonal (perpendicular) é simplesmente a diferença entre \mathbf{v} e a projeção:
\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{v}).
Isso funciona porque qualquer vetor pode ser decomposto em uma parte paralela e uma parte perpendicular a uma direção dada.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} componente a componente:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}= (2)(1)+(-1)(2)+(3)(2).
Agora faço as contas:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=2-2+6=6.

Passo 4

Calcular \|\mathbf{b}\|^2 (soma dos quadrados das componentes de \mathbf{b}):
\|\mathbf{b}\|^2=1^2+2^2+2^2=1+4+4=9.

Passo 5

Formo o coeficiente escalar da projeção:
\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Multiplico esse escalar por \mathbf{b} para obter a projeção vetorial:
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{v})=\frac{2}{3}\,\mathbf{b}=\frac{2}{3}\bigl(\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}\bigr).
Distribuindo:
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{v})=\frac{2}{3}\mathbf{i}+\frac{4}{3}\mathbf{j}+\frac{4}{3}\mathbf{k}.

Passo 7

Calcular a componente ortogonal \mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{v}) componente a componente:
\mathbf{v}_{\perp}=\bigl(2-\tfrac{2}{3}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(-1-\tfrac{4}{3}\bigr)\mathbf{j}+\bigl(3-\tfrac{4}{3}\bigr)\mathbf{k}.
Agora simplifico cada coordenada:
2-\tfrac{2}{3}=\tfrac{6-2}{3}=\tfrac{4}{3}, \qquad -1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{3+4}{3}=-\tfrac{7}{3}, \qquad 3-\tfrac{4}{3}=\tfrac{9-4}{3}=\tfrac{5}{3}.
Portanto
\mathbf{v}_{\perp}=\frac{4}{3}\mathbf{i}-\frac{7}{3}\mathbf{j}+\frac{5}{3}\mathbf{k}.

Passo 8

Verificação rápida de ortogonalidade: confirmar que \mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=0.
\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=\frac{4}{3}\cdot1+\Bigl(-\frac{7}{3}\Bigr)\cdot2+\frac{5}{3}\cdot2 =\frac{4-14+10}{3}=\frac{0}{3}=0.
Ótimo — a componente encontrada é realmente perpendicular a \mathbf{b}.

Resposta

\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}(\mathbf{v})=\dfrac{2}{3}\mathbf{i}+\dfrac{4}{3}\mathbf{j}+\dfrac{4}{3}\mathbf{k}\n
\mathbf{v}_{\perp}=\dfrac{4}{3}\mathbf{i}-\dfrac{7}{3}\mathbf{j}+\dfrac{5}{3}\mathbf{k}

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