Em cada parte, determine o componente vetorial de
ao longo de
e o componente vetorial de
ortogonal
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede duas coisas:
- o componente vetorial de
ao longo de (ou seja, a projeção de sobre ); - o componente vetorial de
ortogonal a (ou seja, a parte de perpendicular a ).
Os vetores fornecidos são:
Passo 2
Vou explicar a fórmula que usamos (passo-a-passo, sem pressa). Para projetar um vetor
sobre outro vetor
usamos a projeção vetorial:
O raciocínio por trás:
-
é o produto escalar; mede quanto “aponta na direção de” . -
é o quadrado da norma de , usado para transformar esse valor escalar em um fator multiplicativo do próprio vetor . - O resultado é um vetor paralelo a
cujo comprimento corresponde à componente de na direção de .
A componente ortogonal (perpendicular) é simplesmente a diferença entre
e a projeção:
Isso funciona porque qualquer vetor pode ser decomposto em uma parte paralela e uma parte perpendicular a uma direção dada.
Passo 3
Calcular o produto escalar
componente a componente:
Agora faço as contas:
Passo 4
Calcular
(soma dos quadrados das componentes de
):
Passo 5
Formo o coeficiente escalar da projeção:
Passo 6
Multiplico esse escalar por
para obter a projeção vetorial:
Distribuindo:
Passo 7
Calcular a componente ortogonal
componente a componente:
Agora simplifico cada coordenada:
Portanto
Passo 8
Verificação rápida de ortogonalidade: confirmar que
.
Ótimo — a componente encontrada é realmente perpendicular a
.