Em cada parte, determine o componente vetorial de
ao longo de
e o componente vetorial de
ortogonal a
. Então, esboce os vetores
, projb
proj
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para os vetores dados:
- Determinar o componente vetorial de
ao longo de (ou seja, a projeção de sobre ). - Determinar o componente vetorial de
ortogonal a (ou seja, a diferença entre e a projeção).
Também pede um esboço dos vetores, e .
Dados fornecidos:
e
.
Passo 2
Primeiro preciso do produto escalar (dot product)
. Vou explicar o que é e como calcular:
- O produto escalar entre dois vetores em coordenadas
e é - Ele mede, intuitivamente, quanto um vetor “aponta na direção” do outro; aparece na fórmula da projeção.
Calculemos
:
Passo 3
Agora a fórmula da projeção vetorial de
sobre
. Vou apresentar e explicar:
- A projeção vetorial (não apenas o comprimento projetado) é
- Aqui
já calculamos; é o quadrado da norma de (ou seja, ). - A razão
é um escalar que diz quanto do vetor (em escala) corresponde à projeção.
Calculemos
:
O escalar da projeção é então
Passo 4
Multiplico o escalar
pelo vetor
para obter a projeção em coordenadas. Faço passo a passo:
Calculando componentes:
Portanto
Passo 5
Agora a componente de
ortogonal a
é simplesmente
Vou subtrair coordenada a coordenada, tendo cuidado com frações.
Escrevendo
com denominador
:
Subtraindo:
Calcule cada componente:
Logo
Passo 6
É bom verificar que a componente ortogonal realmente é ortogonal a
. Para isso calculo o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é
, a verificação está correta: o vetor é ortogonal a
.
Passo 7
Dicas para esboçar os vetores (passo a passo para desenhar no papel; nada complicado):
- Trace eixos
e . Marque pontos inteiros. - Desenhe
como um vetor apontando para a direita e ligeiramente para cima (ponto ). - Desenhe
. Note que ambas as componentes são negativas, então esse vetor aponta na direção oposta a . Em coordenadas é aproximadamente — mais precisamente se usar vírgula decimal: . - Desenhe a componente ortogonal
, que é pequena e aponta para a direita e para baixo (aprox. ). - Para mostrar que
, desenhe a soma vetorial: a ponta de somada ao vetor ortogonal deve cair na ponta de . Alternativamente, desenhe diretamente em e verifique visualmente que ele se decompõe na componente ao longo de (na direção oposta a ) mais a componente ortogonal.
Força aí — isso resolve a decomposição; vale lembrar: em provas, escreva a fórmula da projeção, calcule o produto escalar e simplifique frações com cuidado.