1. Determine o centro e o raio da esfera que tem (1,-2,4) e (3,4,-12) como extremos de um diâmetro. [Ver Exercício 4.]

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos (1,-2,4) e (3,4,-12) como extremos de um diâmetro de uma esfera. Para determinar a esfera precisamos do centro, que é o ponto médio desse diâmetro, e do raio, que é metade da distância entre os extremos.

Passo 2

Cálculo do centro: o ponto médio C=(x_C,y_C,z_C) de (x_A,y_A,z_A)=(1,-2,4) e (x_B,y_B,z_B)=(3,4,-12) satisfaz
x_C = \frac{x_A + x_B}{2},\quad y_C = \frac{y_A + y_B}{2},\quad z_C = \frac{z_A + z_B}{2}.
Substituindo,
x_C = \frac{1 + 3}{2} = 2,\quad y_C = \frac{-2 + 4}{2} = 1,\quad z_C = \frac{4 + (-12)}{2} = -4.
Logo C=(2,1,-4).

Passo 3

Cálculo do raio: primeiro a distância entre os extremos
AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4 - (-2))^2 + (-12 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-16)^2} = \sqrt{4 + 36 + 256} = \sqrt{296} = 2\sqrt{74}.
O raio é metade dessa distância,
r = \frac{AB}{2} = \sqrt{74}.

Resposta

O centro da esfera é C=(2,1,-4).
O raio da esfera é r=\sqrt{74}.

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