1. Mostre que (4,5,2),(1,7,3) e (2,4,5) são vértices de um triângulo equilátero.

Passo 1

Temos três pontos em \mathbb{R}^3:
A=(4,5,2),\quad B=(1,7,3),\quad C=(2,4,5).
O objetivo é mostrar que AB=BC=CA, isto é, as três arestas têm o mesmo comprimento, o que caracteriza um triângulo equilátero. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos em \mathbb{R}^3:
d(P,Q)=\sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2+(z_P-z_Q)^2}.

Passo 2

Calcular AB.
AB = d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (5-7)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}.

Passo 3

Calcular BC e CA.
BC = d(B,C) = \sqrt{(1-2)^2 + (7-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14},
CA = d(C,A) = \sqrt{(2-4)^2 + (4-5)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}.

Passo 4

Como
AB = BC = CA = \sqrt{14},
os três lados do triângulo ABC têm o mesmo comprimento. Logo, A, B e C são vértices de um triângulo equilátero.

Resposta

Os pontos determinam um triângulo equilátero, pois todas as distâncias entre pares são iguais a \sqrt{14}.

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