Em cada parte, determine se a equação é linear em x1, x2 e x3.
7 x1-x2+2 x3= & 0 2 x1+x2-x3 x4= & 3 -x1+5 x2-x4= & -1

Passo 1

O enunciado apresenta três equações envolvendo as incógnitas x1,x2,x3,x4 e pede para decidir, em cada caso, se a equação é linear em x1,x2,x3.
Uma equação é dita linear em um conjunto de variáveis quando cada uma delas aparece apenas na 1.ª potência, sem produtos entre si nem funções não lineares, e com coeficientes que não dependem dessas variáveis.

Passo 2

Para a primeira equação
7x1-x2+2x3=0
vemos que cada termo é um coeficiente constante multiplicando uma das variáveis x1,x2,x3, não há produtos entre elas nem outras não linearidades. Portanto, ela é linear em x1,x2,x3.

Passo 3

Para a segunda equação
2x1+x2-x3x4=3
aparece o termo -x3x4, que é um produto de x3 com x4. Mesmo que estejamos testando linearidade apenas em x1,x2,x3, esse produto faz com que o coeficiente de x3 dependa de x4 e introduz não linearidade. Logo, não é linear em x1,x2,x3.

Passo 4

Para a terceira equação
-x1+5x2-x4=-1
as variáveis de interesse x1,x2,x3 aparecem só em termos lineares (note que x3 está ausente, o que equivale a coeficiente zero, perfeitamente linear). O termo -x4 não envolve x1,x2,x3 e pode ser visto como constante para nosso teste. Portanto, esta equação é linear em x1,x2,x3.

Resposta

Primeira equação: linear.
Segunda equação: não linear.
Terceira equação: linear.

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