Sejam v1=(1,0,1), v2=(0,1,2), v3=(1,1,3). Determine se v1, v2, v3 é um conjunto LI ou LD. Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1=(1,0,1), v2=(0,1,2), v3=(1,1,3),
e pede para decidir se o conjunto v1,v2,v3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Vamos usar a definição de independência linear em R^3.

Passo 2

Por definição, v1,v2,v3 é LI se a única solução do sistema
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0)
for a=b=c=0. Caso contrário, o conjunto é LD, pois existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.

Passo 3

Observe que
v1 + v2 = (1,0,1) + (0,1,2) = (1,1,3) = v3
Isso pode ser reescrito como
1cdot v1 + 1cdot v2 + (-1)cdot v3 = (0,0,0),
onde os coeficientes (a,b,c)=(1,1,-1) não são todos zero.

Passo 4

Como encontramos uma combinação linear não trivial que zera os vetores, concluímos que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto v1,v2,v3 é linearmente dependente (LD).

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