Determine uma equação do plano alpha que passa pelo ponto P(2,1,1), é perpendicular ao plano coordenado yz e (alpha, beta)=arc cos (2 / 3) rd, sendo o plano beta : 2 x-y+2 z+3=0.

Passo 1

O enunciado pede um plano alpha que passa por P(2,1,1), é perpendicular ao plano yz (que é x=0), e forma com o plano betacolon2x-y+2z+3=0 um ângulo de arccos(2/3). Para isso vamos usar:
  1. O vetor normal de um plano perpendicular a yz deve satisfazer nalphacdot(1,0,0)=0.
  2. O ângulo entre planos é o ângulo entre seus normais, dado por
costheta = |nalphacdotnbeta||nalpha||nbeta|

Passo 2

Como alphaperp yz e o normal de yz é (1,0,0), o normal de alpha deve ser da forma
nalpha = (0,A,B),
pois assim nalphacdot(1,0,0)=0.

Passo 3

O normal de beta é nbeta=(2,-1,2) e |nbeta|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=3. O cosseno do ângulo entre alpha e beta deve ser 2/3, logo
l|(0,A,B)cdot(2,-1,2)r|raizA^2+B^2,cdot3=23
O produto escalar é (0,A,B)cdot(2,-1,2)=-A+2B. Então
|-A+2B|3raizA^2+B^2=23 Longrightarrow |-A+2B|=2raizA^2+B^2

Passo 4

Elevando ao quadrado:
(-A+2B)^2 = 4(A^2+B^2) Longrightarrow A^2 -4AB +4B^2 = 4A^2 +4B^2 Longrightarrow 3A^2 +4AB = 0 Longrightarrow A(3A+4B)=0
Isso gera duas possibilidades:
Caso 1: A=0.
Caso 2: 3A+4B=0.

Passo 5

Caso 1: A=0. Então nalpha=(0,0,B). Tomando B=1, um normal é (0,0,1). A equação de alpha passa por P e é
0cdot(x-2)+0cdot(y-1)+1cdot(z-1)=0 Longrightarrow z-1=0

Passo 6

Caso 2: 3A+4B=0, escolhemos A=4, B=-3, logo nalpha=(0,4,-3). A equação de alpha fica
0cdot(x-2)+4cdot(y-1)-3cdot(z-1)=0 Longrightarrow 4y-3z-1=0

Resposta

As equações possíveis para alpha são:
z-1=0
ou
4y-3z-1=0.

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