Determine uma equação do plano
que passa pelo ponto
, é perpendicular ao plano coordenado yz e
rd, sendo o plano
:
.
Passo 1
O enunciado pede um plano
que passa por
, é perpendicular ao plano
(que é
), e forma com o plano
um ângulo de
. Para isso vamos usar:
- O vetor normal de um plano perpendicular a
deve satisfazer . - O ângulo entre planos é o ângulo entre seus normais, dado por
Passo 2
Como
e o normal de
é
, o normal de
deve ser da forma
pois assim
.
Passo 3
O normal de
é
e
. O cosseno do ângulo entre
e
deve ser
, logo
O produto escalar é
(0,A,B)cdot(2,-1,2)=-A+2B . Então
Passo 4
Elevando ao quadrado:
Isso gera duas possibilidades:
Caso 1:A=0 .
Caso 2:3A+4B=0 .
Caso 1:
Caso 2:
Passo 5
Caso 1:
A=0 . Então
nalpha=(0,0,B) . Tomando
B=1 , um normal é
(0,0,1) . A equação de
alpha passa por
P e é
Passo 6
Caso 2:
3A+4B=0 , escolhemos
A=4 ,
B=-3 , logo
nalpha=(0,4,-3) . A equação de
alpha fica
Resposta
As equações possíveis para
alpha são:
ou