Para A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5\end{array}\right), quais são as três matrizes da eliminação E_{21}, E_{31}, E_{32} que transformam A na forma triangular U=E_{32} E_{31} E_{21} A ? Fatore A em L U, com L=E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para usar eliminação de Gauss em
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 2 & 2\\\\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}
para obter uma matriz triangular superior U do tipo
U = E_{32}\,E_{31}\,E_{21}\,A
e em seguida escrever
A = L\,U
onde
L = E_{21}^{-1}\,E_{31}^{-1}\,E_{32}^{-1}
Este é um procedimento de fatoração LU via matrizes elementares de eliminação.

Passo 2

Primeiro zeramos a_{21}=2 e a_{31}=3 usando o pivô a_{11}=1. Os multiplicadores são
m_{21} = \frac{2}{1} = 2,\quad m_{31} = \frac{3}{1} = 3.
Logo as duas primeiras matrizes de eliminação são
E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida, após aplicar E_{31}E_{21} em A, o novo elemento na posição (3,2) é
a'_{32} = 4,
enquanto o pivô de segunda coluna é
a'_{22} = 2.
O multiplicador para zerar a'_{32} é
m_{32} = \frac{4}{2} = 2
e a terceira matriz de eliminação é
E_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando as três eliminações em A obtemos
U = E_{32}\,E_{31}\,E_{21}\,A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
que é a forma triangular superior desejada.

Passo 4

As inversas das matrizes elementares trocam o sinal dos multiplicadores:
E_{21}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{31}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{32}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando-as na ordem dada,
L = E_{21}^{-1}\,E_{31}^{-1}\,E_{32}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},
que é a matriz triangular inferior com diagonal unitaria.

Resposta

E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix},
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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