Os vértices de um tetraedro são M(0,3,4), N(-1,2,2) e Q(2,-1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:
a) as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;
Resp.: P(0,0,0) ou P(0,0,2).
b) a área e o perímetro da face NMQ ;
Resp.: S=33 ua e 2 p=3 \sqrt{6}+3 \sqrt{12} uc.
c) calcule a altura do tetraedro MNPQ , relativa à face MNQ .

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro de vértices \;M=(0,3,4),\;N=(-1,2,2),\;Q=(2,-1,2), e pede:
a) o ponto P sobre o eixo OZ tal que o volume seja 1,uv;
b) a área e o perímetro da face triangular NMQ;
c) a altura do tetraedro relativa à face MNQ.
Para (a) usaremos a fórmula do volume via determinante; para (b) calcularemos os comprimentos dos lados, depois a área com produto vetorial e o perímetro pela soma dos lados; para (c) aplicaremos V=(\text{área da base}\times h)/3á.

Passo 2

Se P=(0,0,z), então os vetores \overrightarrow{PM},\overrightarrow{PN},\overrightarrow{PQ} são
\overrightarrow{PM}=(0,3,4-z),\quad \overrightarrow{PN}=(-1,2,2-z),\quad \overrightarrow{PQ}=(2,-1,2-z).
O volume do tetraedro é
V=\frac{1}{6}\Bigl|\det\bigl[\overrightarrow{PM},\,\overrightarrow{PN},\,\overrightarrow{PQ}\bigr]\Bigr|.

Passo 3

Calculamos o determinante
\det \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4-z\\\\ -1 & 2 & 2-z\\\\ 2 & -1 & 2-z \end{pmatrix} =6-6z.
Logo
V=\frac{|6-6z|}{6}=|1-z|.

Passo 4

Para V=1 temos |1-z|=1, ou seja
1-z=1\implies z=0, \quad 1-z=-1\implies z=2.
Logo as soluções são
P=(0,0,0)\quad\text{ou}\quad P=(0,0,2).

Passo 5

Para a face NMQ calculamos os lados:
\overrightarrow{NM}=M-N=(1,1,2)\;\Rightarrow\;\|\overrightarrow{NM}\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6},
\overrightarrow{MQ}=Q-M=(2,-4,-2)\;\Rightarrow\;\|\overrightarrow{MQ}\|=\sqrt{4+16+4}=2\sqrt{6},
\overrightarrow{NQ}=Q-N=(3,-3,0)\;\Rightarrow\;\|\overrightarrow{NQ}\|=\sqrt{9+9+0}=3\sqrt{2}.

Passo 6

Área:
\text{área}_{NMQ} =\frac12\,\bigl\|\overrightarrow{NM}\times\overrightarrow{NQ}\bigr\| =\frac12\sqrt{108} =3\sqrt{3}\quad\text{ua}.á
Perímetro:
\text{perímetro}= \sqrt{6}+2\sqrt{6}+3\sqrt{2} =3\sqrt{6}+3\sqrt{2}\quad\text{uc}.í

Passo 7

A altura relativa à face MNQ satisfaz
V=\frac{\text{área}_{NMQ}\,\times h}{3} \quad\Longrightarrow\quad 1=\frac{3\sqrt{3}\,\times h}{3} \;\Rightarrow\; h=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad\text{uc}.á

Resposta

a) P=(0,0,0) ou P=(0,0,2).
b) \text{área}_{NMQ}=3\sqrt{3}á ua, perímetro =3\sqrt{6}+3\sqrt{2} uc.
c) h=\frac{\sqrt{3}}{3} uc.

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