Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, ambas ou nenhuma das duas.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}
está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida por linhas, em ambas ou em nenhuma. Vamos usar as definições padrão:
  1. Uma matriz está em forma escalonada por linhas se
    a) todos os linhas nulas (se houver) estão abaixo das não nulas;
    b) o primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha fica à direita do pivô da linha acima.
  2. Está em forma escalonada reduzida por linhas se, além de (1),
    c) cada pivô vale 1;
    d) em cada coluna de pivô, todos os demais elementos são zero.

Passo 2

Verificando a forma escalonada:
  • Não há linhas nulas, logo (a) está satisfeita.
  • O pivô da primeira linha é o 1 na coluna 1 e o pivô da segunda linha é o 1 na coluna 2, que fica à direita do da primeira linha. Logo (b) também vale.
    Portanto, A está em forma escalonada.

Passo 3

Verificando a forma escalonada reduzida por linhas:
  • Cada pivô vale de fato 1, atendendo à condição (c).
  • Na coluna do primeiro pivô (coluna 1), o único outro elemento é zero; na coluna do segundo pivô (coluna 2), o único outro elemento é zero. Assim, a condição (d) também se mantém.
    Logo, A está em forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

A matriz está em ambas as formas: forma escalonada e forma escalonada reduzida por linhas.

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