Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
3 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-15
5 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=0
3 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=11
-6 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}=30

Passo 1

O sistema dado possui quatro equações em três incógnitas. Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan para levar a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & -15 \\\\ 5 & 3 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 3 & 11 \\\\ -6 & -4 & 2 & 30 \end{array}\right]
à forma reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

Criamos um pivô igual a 1 na primeira linha dividindo R_{1} por 3, depois eliminamos a coluna 1 em R_{2}, R_{3} e R_{4} subtraindo 5R_{1}, 3R_{1} e somando 6R_{1}. Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -5 \\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{11}{3} & 25 \\\\ 0 & -1 & 4 & 26 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Para o segundo pivô, multiplicamos R_{2} por -3 (para obter 1 na posição (2,2)) e eliminamos a coluna 2 em R_{1} subtraindo \tfrac{2}{3}R_{2} e em R_{3} somando R_{2}. Ficamos com
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 45 \\\\ 0 & 1 & -11 & -75 \\\\ 0 & 0 & -7 & -49 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Para o terceiro pivô, dividimos R_{3} por -7 (obtendo 1 em (3,3)) e eliminamos a coluna 3 em R_{1} subtraindo 7R_{3} e em R_{2} somando 11R_{3}. A forma RREF final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Resposta

\displaystyle x_{1}=-4,\quad x_{2}=2,\quad x_{3}=7.

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