Em cada parte, determine se os vetores dados são ortogonais em relação ao produto interno canônico de \mathbb{R}^{n}.
u=(-2,5,0,1), \quad v=(5,-1,-10,-2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores são ortogonais em relação ao produto interno canônico de \mathbb{R}^{n}.
Dados fornecidos:
  • u = (-2,5,0,1)
  • v = (5,-1,-10,-2)
Pergunta explícita: os vetores u e v são ortogonais ao produto interno canônico?

Passo 2

O que significa “ortogonais no produto interno canônico”? Vou explicar devagarinho.
  • O produto interno canônico (também chamado de produto escalar ou dot product) entre dois vetores x=(x_1,\dots,x_n) e y=(y_1,\dots,y_n) é dado por
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n.
Aqui cada x_i e y_i é a i-ésima coordenada de x e y, respectivamente.
  • Dois vetores são ortogonais exatamente quando o produto interno deles é zero:
\text{ortogonais} \iff \langle x,y\rangle = 0.
Então, para responder à pergunta basta calcular \langle u,v\rangle e checar se é zero.

Passo 3

Vou calcular \langle u,v\rangle coordenada a coordenada usando os vetores dados. Escrevo a soma conforme a definição:
\langle u,v\rangle = (-2)\cdot 5 + 5\cdot(-1) + 0\cdot(-10) + 1\cdot(-2).
Agora faço cada produto:
(-2)\cdot 5 = -10, \qquad 5\cdot(-1) = -5, \qquad 0\cdot(-10) = 0, \qquad 1\cdot(-2) = -2.

Passo 4

Somando os resultados:
\langle u,v\rangle = -10 + (-5) + 0 + (-2) = -10 -5 -2 = -17.
Como \langle u,v\rangle = -17 e isso não é zero, concluímos que u e v não são ortogonais.
Dica rápida para a prova: calcular o produto escalar é só multiplicar coordenadas correspondentes e somar — pratique essa operação algumas vezes para ficar rápido e evitar erro de sinal.

Resposta

Não — \langle u,v\rangle = -17 \neq 0.

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