Sejam
A=\left[\begin{array}{ll} u_{1} & u_{2} \\\ u_{3} & u_{4} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ll} v_{1} & v_{2} \\\ v_{3} & v_{4} \end{array}\right] .
Mostre que \langle A, B\rangle=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{3}+u_{3} v_{2}+u_{4} v_{4} não define um produto interno em M_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\left[\begin{array}{ll} u_{1} & u_{2} \\\ u_{3} & u_{4} \end{array}\right]\quad\text{e}\quad B=\left[\begin{array}{ll} v_{1} & v_{2} \\\ v_{3} & v_{4} \end{array}\right]
e define a forma bilinear
\langle A,B\rangle = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{3}+u_{3}v_{2}+u_{4}v_{4}.
A pergunta do enunciado é: mostrar que essa forma não define um produto interno em M_{2\times2}.
Informações relevantes dadas:
  • As entradas de A são \,u_1,u_2,u_3,u_4, e as de B são \,v_1,v_2,v_3,v_4.
  • A forma está explicitada componente a componente como acima.

Passo 2

Lembrete do que é preciso checar para uma forma ser produto interno (definição): uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb{R} é produto interno se, para todo x,y,z\in V e todo escalar \alpha,
  1. (Simetria) \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
  2. (Bilinearidade / linearidade) \langle \alpha x+y,z\rangle=\alpha\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle e análogo na segunda entrada (para produto interno real: simetria + linearidade numa entrada implicam linearidade na outra).
  3. (Positividade definida) \langle x,x\rangle\ge 0 para todo x, e \langle x,x\rangle=0 só se x=0.
Para provar que a forma dada NÃO é produto interno basta mostrar que uma dessas propriedades falha. Geralmente a mais simples de testar é a positividade definida.

Passo 3

Verificação da simetria (para entender e descartar essa falha): calcule
\langle A,B\rangle = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{3}+u_{3}v_{2}+u_{4}v_{4},
e trocando A com B (isto é, trocando u_i por v_i),
\langle B,A\rangle = v_{1}u_{1}+v_{2}u_{3}+v_{3}u_{2}+v_{4}u_{4}.
Como multiplicação é comutativa, os termos coincidem termo a termo, então
\langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle.
Portanto a simetria é satisfeita.

Passo 4

Verificação da linearidade (rapidamente): para A,A',B com entradas u_i,u'_i,v_i e escalar \alpha,
\langle A+A',B\rangle=(u_1+u'_1)v_1+(u_2+u'_2)v_3+(u_3+u'_3)v_2+(u_4+u'_4)v_4
=\big(u_1v_1+u_2v_3+u_3v_2+u_4v_4\big)+\big(u'_1v_1+u'_2v_3+u'_3v_2+u'_4v_4\big)
=\langle A,B\rangle+\langle A',B\rangle,
e similarmente \langle \alpha A,B\rangle=\alpha\langle A,B\rangle. Logo a forma é bilinear e linear em cada entrada (no caso real). Então bilinearidade também é satisfeita.

Passo 5

Agora teste a positividade definida: calcule \langle A,A\rangle. Substituindo v_i=u_i na definição,
\langle A,A\rangle = u_{1}^{2}+u_{2}u_{3}+u_{3}u_{2}+u_{4}^{2}.
Como u_2u_3+u_3u_2=2u_2u_3, obtemos
\langle A,A\rangle = u_{1}^{2}+2u_{2}u_{3}+u_{4}^{2}.
Para ser produto interno precisamos ter \langle A,A\rangle\ge 0 para todo A e \langle A,A\rangle=0 somente se A for a matriz nula.
Mas note que escolhendo entradas simples podemos violar isso. Por exemplo tome
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},
isto é u_1=0,\\ u_2=1,\\ u_3=-1,\\ u_4=0. Então
\langle A,A\rangle = 0^{2}+2\cdot(1)\cdot(-1)+0^{2} = -2.
Esse valor é negativo, \langle A,A\rangle=-2<0. Logo a forma não satisfaz a condição \langle A,A\rangle\ge 0 para todo A.
Além disso, há casos em que \langle A,A\rangle=0 com A\neq 0: por exemplo A=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} \langle A,A\rangle=0 embora A seja não nula. Isso também contradiz positividade definida.]

Passo 6

Conclusão: como a propriedade de positividade definida falha (existem matrizes A\neq 0 com \langle A,A\rangle\le 0, mesmo negativos), a forma dada não é um produto interno em M_{2\times2}. Forneci exemplos explícitos que mostram a violação.

Resposta

Não define um produto interno (por exemplo, para A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} tem-se \langle A,A\rangle=-2<0, portanto a positividade definida falha).]

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