Sejam
Mostre que
não define um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e define a forma bilinear
A pergunta do enunciado é: mostrar que essa forma não define um produto interno em
.
Informações relevantes dadas:
- As entradas de
são , e as de são . - A forma está explicitada componente a componente como acima.
Passo 2
Lembrete do que é preciso checar para uma forma ser produto interno (definição): uma aplicação
é produto interno se, para todo
e todo escalar
,
- (Simetria)
. - (Bilinearidade / linearidade)
e análogo na segunda entrada (para produto interno real: simetria + linearidade numa entrada implicam linearidade na outra). - (Positividade definida)
para todo , e só se .
Para provar que a forma dada NÃO é produto interno basta mostrar que uma dessas propriedades falha. Geralmente a mais simples de testar é a positividade definida.
Passo 3
Verificação da simetria (para entender e descartar essa falha): calcule
e trocando
com
(isto é, trocando
por
),
Como multiplicação é comutativa, os termos coincidem termo a termo, então
Portanto a simetria é satisfeita.
Passo 4
Verificação da linearidade (rapidamente): para
com entradas
e escalar
,
e similarmente
. Logo a forma é bilinear e linear em cada entrada (no caso real). Então bilinearidade também é satisfeita.
Passo 5
Agora teste a positividade definida: calcule
. Substituindo
na definição,
Como
, obtemos
Para ser produto interno precisamos ter
para todo
e
somente se
for a matriz nula.
Mas note que escolhendo entradas simples podemos violar isso. Por exemplo tome
isto é
. Então
Esse valor é negativo,
. Logo a forma não satisfaz a condição
para todo
.
Além disso, há casos em que
com
: por exemplo
dá
embora
seja não nula. Isso também contradiz positividade definida.]
Passo 6
Conclusão: como a propriedade de positividade definida falha (existem matrizes
com
, mesmo negativos), a forma dada não é um produto interno em
. Forneci exemplos explícitos que mostram a violação.
Resposta
Não define um produto interno (por exemplo, para
tem-se
, portanto a positividade definida falha).]