Verifique que as seguintes expressões definem um produto interno no espaço vetorial dado.
, onde
e
são polinômios quaisquer em
e
e
são números reais distintos.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte fórmula sobre o espaço vetorial
(polinômios com grau no máximo
):
onde
e
são polinômios quaisquer em
e
são números reais distintos.
O que se pede: verificar que essa fórmula realmente define um produto interno em . Ou seja, mostrar que a aplicação
satisfaz as propriedades necessárias de produto interno.
O que se pede: verificar que essa fórmula realmente define um produto interno em
Passo 2
Lembrete das propriedades que precisamos verificar (definição de produto interno em espaço real). Para todo
e todo
deve valer:
- Simetria:
- Linearidade no primeiro argumento (bilinearidade, no caso real é equivalente linearidade em cada argumento):
- Positividade definida:
Vou verificar cada uma delas passo a passo.
Passo 3
Verificação da simetria. Pegando a definição,
Como a multiplicação de números reais é comutativa,
para
. Logo
Portanto a simetria está cumprida.
Passo 4
Verificação da linearidade no primeiro argumento. Sejam
e
. Então
Usando que avaliação de soma e fator comum se distribuem, temos para cada
Somando os três termos
obtemos
Ou seja,
Como o produto é simétrico, a linearidade no segundo argumento também segue (ou pode ser verificada da mesma forma). Logo a propriedade de bilinearidade está satisfeita.
Passo 5
Verificação da não negatividade. Para qualquer
,
Cada termo
é um quadrado real, portanto
. Assim
. Isso mostra a parte
.
Passo 6
Verificação da definitude positiva (quando dá zero só para o polinômio nulo). Se
então
Soma de quadrados não-negativos só é zero se cada quadrado é zero, logo
Portanto
tem pelo menos três raízes distintas
. Mas
tem grau no máximo
. Um polinômio não nulo de grau
pode ter no máximo
raízes distintas. Assim a única possibilidade é que
seja o polinômio identicamente nulo,
. Reciprocamente, se
então claramente
. Logo
o que estabelece a propriedade de positividade definida.
Passo 7
Exemplo numérico didático (para fixar a intuição). Tome
,
e
(esses valores respeitam a hipótese de serem distintos). Então
Calculando termos:
Somando,
Esse cálculo ilustra como a fórmula avalia os polinômios em pontos distintos e soma os produtos — comportamento típico de um produto interno definido por amostragem em pontos distintos.
Passo 8
Conclusão: verificamos simetria, linearidade em cada argumento e positividade definida (a parte essencial que exigiu usar que
são distintos). Portanto a aplicação dada define de fato um produto interno em
.
Resposta
A aplicação dada define um produto interno em
.