Verifique que as seguintes expressões definem um produto interno no espaço vetorial dado.
\langle p, q\rangle=p\left(x_{0}\right) q\left(x_{0}\right)+p\left(x_{1}\right) q\left(x_{1}\right)+p\left(x_{2}\right) q\left(x_{2}\right), onde p(x) e q(x) são polinômios quaisquer em \mathbb{P}_{2} e x_{0}, x_{1} e x_{2} são números reais distintos.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte fórmula sobre o espaço vetorial \mathbb{P}_2 (polinômios com grau no máximo 2):
\langle p,q\rangle = p(x_{0})\,q(x_{0}) + p(x_{1})\,q(x_{1}) + p(x_{2})\,q(x_{2}),
onde p(x) e q(x) são polinômios quaisquer em \mathbb{P}_{2} e x_{0},x_{1},x_{2} são números reais distintos.
O que se pede: verificar que essa fórmula realmente define um produto interno em \mathbb{P}_2. Ou seja, mostrar que a aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{P}_2\times\mathbb{P}_2\to\mathbb{R} satisfaz as propriedades necessárias de produto interno.

Passo 2

Lembrete das propriedades que precisamos verificar (definição de produto interno em espaço real). Para todo p,q,r\in\mathbb{P}_2 e todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} deve valer:
  1. Simetria:
\langle p,q\rangle = \langle q,p\rangle.
  1. Linearidade no primeiro argumento (bilinearidade, no caso real é equivalente linearidade em cada argumento):
\langle \alpha p + \beta q, r\rangle = \alpha\langle p,r\rangle + \beta\langle q,r\rangle.
  1. Positividade definida:
\langle p,p\rangle \ge 0\quad\text{e}\quad \langle p,p\rangle = 0\iff p\equiv 0.
Vou verificar cada uma delas passo a passo.

Passo 3

Verificação da simetria. Pegando a definição,
\langle p,q\rangle = p(x_{0})q(x_{0}) + p(x_{1})q(x_{1}) + p(x_{2})q(x_{2}).
Como a multiplicação de números reais é comutativa, p(x_i)q(x_i)=q(x_i)p(x_i) para i=0,1,2. Logo
\langle p,q\rangle = q(x_{0})p(x_{0}) + q(x_{1})p(x_{1}) + q(x_{2})p(x_{2}) = \langle q,p\rangle.
Portanto a simetria está cumprida.

Passo 4

Verificação da linearidade no primeiro argumento. Sejam \alpha,\beta\in\mathbb{R} e p,q,r\in\mathbb{P}_2. Então
\langle \alpha p + \beta q, r\rangle = (\alpha p + \beta q)(x_{0})\,r(x_{0}) + (\alpha p + \beta q)(x_{1})\,r(x_{1}) + (\alpha p + \beta q)(x_{2})\,r(x_{2}).
Usando que avaliação de soma e fator comum se distribuem, temos para cada i
(\alpha p + \beta q)(x_i)\,r(x_i) = \alpha p(x_i)r(x_i) + \beta q(x_i)r(x_i).
Somando os três termos i=0,1,2 obtemos
\langle \alpha p + \beta q, r\rangle = \alpha\bigl(p(x_{0})r(x_{0}) + p(x_{1})r(x_{1}) + p(x_{2})r(x_{2})\bigr) + \beta\bigl(q(x_{0})r(x_{0}) + q(x_{1})r(x_{1}) + q(x_{2})r(x_{2})\bigr).
Ou seja,
\langle \alpha p + \beta q, r\rangle = \alpha\langle p,r\rangle + \beta\langle q,r\rangle.
Como o produto é simétrico, a linearidade no segundo argumento também segue (ou pode ser verificada da mesma forma). Logo a propriedade de bilinearidade está satisfeita.

Passo 5

Verificação da não negatividade. Para qualquer p\in\mathbb{P}_2,
\langle p,p\rangle = p(x_{0})^{2} + p(x_{1})^{2} + p(x_{2})^{2}.
Cada termo p(x_i)^{2} é um quadrado real, portanto \ge 0. Assim \langle p,p\rangle \ge 0. Isso mostra a parte \langle p,p\rangle\ge 0.

Passo 6

Verificação da definitude positiva (quando dá zero só para o polinômio nulo). Se \langle p,p\rangle = 0 então
p(x_{0})^{2} + p(x_{1})^{2} + p(x_{2})^{2} = 0.
Soma de quadrados não-negativos só é zero se cada quadrado é zero, logo
p(x_{0})=0,\quad p(x_{1})=0,\quad p(x_{2})=0.
Portanto p tem pelo menos três raízes distintas x_{0},x_{1},x_{2}. Mas p\in\mathbb{P}_2 tem grau no máximo 2. Um polinômio não nulo de grau \le 2 pode ter no máximo 2 raízes distintas. Assim a única possibilidade é que p seja o polinômio identicamente nulo, p\equiv 0. Reciprocamente, se p\equiv 0 então claramente \langle p,p\rangle=0. Logo
\langle p,p\rangle = 0 \iff p\equiv 0,
o que estabelece a propriedade de positividade definida.

Passo 7

Exemplo numérico didático (para fixar a intuição). Tome p(x)=1+x, q(x)=x e x_{0}=0,\;x_{1}=1,\;x_{2}=2 (esses valores respeitam a hipótese de serem distintos). Então
\langle p,q\rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2).
Calculando termos:
p(0)=1,\; q(0)=0 \Rightarrow p(0)q(0)=0,
p(1)=2,\; q(1)=1 \Rightarrow p(1)q(1)=2,
p(2)=3,\; q(2)=2 \Rightarrow p(2)q(2)=6.
Somando,
\langle p,q\rangle = 0 + 2 + 6 = 8.
Esse cálculo ilustra como a fórmula avalia os polinômios em pontos distintos e soma os produtos — comportamento típico de um produto interno definido por amostragem em pontos distintos.

Passo 8

Conclusão: verificamos simetria, linearidade em cada argumento e positividade definida (a parte essencial que exigiu usar que x_{0},x_{1},x_{2} são distintos). Portanto a aplicação dada define de fato um produto interno em \mathbb{P}_2.

Resposta

A aplicação dada define um produto interno em \mathbb{P}_2.

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