Em cada parte, efetue a operação sobre linhas dada na matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\\\ 4 & 5 & -3 \\\\ 1 & -4 & 7 \end{array}\right]
multiplicando A à esquerda por uma matriz elementar conveniente. Confira sua resposta em cada caso executando a operação sobre linhas diretamente em A.
(a) Permute a primeira e terceira linhas.

Passo 1

O enunciado pede para permutar a primeira e a terceira linhas da matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix}
usando multiplicação à esquerda por uma matriz elementar. O conteúdo é “matrizes elementares” e “operações sobre linhas”.

Passo 2

Para trocar as linhas 1 e 3, basta tomar a matriz identidade I_3 e permutar suas linhas 1 e 3. Assim a matriz elementar é
E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
pois E aplicada a A fará
\text{linha}_1\leftarrow\text{linha}_3,\quad \text{linha}_2\leftarrow\text{linha}_2,\quad \text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_1.

Passo 3

Calculamos EA multiplicando E por A:
EA =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 7\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Confirmando por operação direta sobre A: trocar linha 1 com linha 3 em \begin{pmatrix}2&-1&0\\\ 4&5&-3\\\ 1&-4&7\end{pmatrix}
também dá \begin{pmatrix}1&-4&7\\\ 4&5&-3\\\ 2&-1&0\end{pmatrix}.

Resposta

E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad EA=\begin{pmatrix} 1 & -4 & 7\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados