Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\\\ -5 & 2 \end{array}\right]
(a) Encontre matrizes elementares E_{1} e E_{2} tais que E_{2} E_{1} A=I.
(b) Escreva A^{-1} como um produto de duas matrizes elementares.
(c) Escreva A como um produto de duas matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] -5 & 2\end{pmatrix}
e pede (a) matrizes elementares E_{1} e E_{2} tais que
E_{2}\,E_{1}\,A = I.
O conteúdo é operação de linhas via matrizes elementares e inversão de matriz.]

Passo 2

Para zerar o elemento -5 em posição (2,1), aplicamos a operação de linha \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 + 5\,\text{L}_1.
A matriz elementar correspondente é
E_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
De fato,
E_{1}A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para escalar a segunda linha de modo que o pivô vire 1, fazemos \text{L}_2 \leftarrow \tfrac12\,\text{L}_2.
A matriz elementar é
E_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac12\end{pmatrix}.
Assim
E_{2}\,E_{1}\,A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I.]

Passo 4

Como E_{2}E_{1}A=I, segue
A^{-1} = E_{2}\,E_{1}.
Ou seja, escrevemos A^{-1} como produto de duas matrizes elementares E_{2} e E_{1}.

Passo 5

Para escrever A como produto de duas matrizes elementares, basta inverter A^{-1}=E_{2}E_{1}:
A = (E_{2}E_{1})^{-1} = E_{1}^{-1}\,E_{2}^{-1}.
Calculamos
E_{1}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -5 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad E_{2}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},
que são matrizes elementares (subtrair 5 vezes L _1 de L _2 e multiplicar L _2 por 2). Logo
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
E_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}, \quad E_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac12\end{pmatrix},
pois E_{2}E_{1}A=I.
(b)
A^{-1} = E_{2}\,E_{1}.
(c)
A = E_{1}^{-1}\,E_{2}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

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