Em cada parte, efetue a operação sobre linhas dada na matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\\\ 4 & 5 & -3 \\\\ 1 & -4 & 7 \end{array}\right]
multiplicando A à esquerda por uma matriz elementar conveniente. Confira sua resposta em cada caso executando a operação sobre linhas diretamente em A.
(c) Some duas vezes a segunda linha à primeira.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix}
e pede para efetuar a operação de linhas “ R_{1}\leftarrow R_{1}+2R_{2}” multiplicando A à esquerda por uma matriz elementar E. Vamos usar o fato de que, para adicionar m vezes a linha j à linha i, a matriz elementar é
E = I + m\,e_{ij},
onde e_{ij} tem 1 na posição (i,j) e zeros nas demais.

Passo 2

Aqui i=1, j=2 e m=2. Assim
E = I + 2\,e_{1,2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} +2\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Multiplicando E por A:
EA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2\cdot4 & -1+2\cdot5 & 0+2\cdot(-3)\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 9 & -6\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix}.
Como conferência, aplicando direto R_{1}\leftarrow R_{1}+2R_{2} em A também dá \bigl[10\;\,9\;\,-6;\;4\;\,5\;\,-3;\;1\;\,-4\;\,7\bigr].

Resposta

A matriz elementar é
E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e o produto é
EA = \begin{pmatrix} 10 & 9 & -6\\\\ 4 & 5 & -3\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix}.

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