Prove que se A é uma matriz m \times n, então existe uma matriz invertível C tal que C A está em forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove: “Dada uma matriz A de tamanho m\times n, existe uma matriz invertível C de ordem m tal que C\,A fica na forma escalonada reduzida por linhas (RREF)”. O conteúdo usado será eliminação de Gauss e a relação com matrizes elementares.

Passo 2

Lembremos que cada operação elementar de linha em uma matriz corresponde a multiplicar essa matriz, à esquerda, por uma matriz elementar invertível. As operações de linha são:
  1. trocar a linha i com a linha j,
  2. multiplicar a linha i por um escalar não-nulo \lambda,
  3. somar \lambda vezes a linha j à linha i.
    Para cada uma existe uma matriz elementar E de ordem m tal que, se B é qualquer m\times n, então a operação aplicada em B E\,B. Além disso, toda matriz elementar é invertível, pois a operação pode ser desfeita por outra operação elementar.

Passo 3

O algoritmo de eliminação de Gauss–Jordan transforma A em sua forma escalonada reduzida por linhas, digamos R, aplicando um número finito de operações elementares de linha. Logo, existem matrizes elementares
E_{1}, E_{2}, \dots, E_{k}
tais que, após aplicá-las em sequência, obtemos
R \;=\; E_{k}\,E_{k-1}\cdots E_{2}\,E_{1}\,A.

Passo 4

Definindo
C \;=\; E_{k}\,E_{k-1}\cdots E_{2}\,E_{1},
vemos que C é inversível, pois é produto de matrizes elementares invertíveis. E pela própria construção,
C\,A \;=\; R,
que é exatamente a forma escalonada reduzida por linhas de A.

Resposta

Basta escolher C como o produto das matrizes elementares usadas no processo de eliminação de Gauss–Jordan. Sendo produto de invertíveis, C é invertível, e C\,A estará em RREF.

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