Prove que se
é uma matriz
, então existe uma matriz invertível
tal que
está em forma escalonada reduzida por linhas.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove: “Dada uma matriz
de tamanho
, existe uma matriz invertível
de ordem
tal que
fica na forma escalonada reduzida por linhas (RREF)”. O conteúdo usado será eliminação de Gauss e a relação com matrizes elementares.
Passo 2
Lembremos que cada operação elementar de linha em uma matriz corresponde a multiplicar essa matriz, à esquerda, por uma matriz elementar invertível. As operações de linha são:
- trocar a linha
com a linha , - multiplicar a linha
por um escalar não-nulo , - somar
vezes a linha à linha .
Para cada uma existe uma matriz elementarde ordem tal que, se é qualquer , então a operação aplicada em dá . Além disso, toda matriz elementar é invertível, pois a operação pode ser desfeita por outra operação elementar.
Passo 3
O algoritmo de eliminação de Gauss–Jordan transforma
em sua forma escalonada reduzida por linhas, digamos
, aplicando um número finito de operações elementares de linha. Logo, existem matrizes elementares
tais que, após aplicá-las em sequência, obtemos
Passo 4
Definindo
vemos que
é inversível, pois é produto de matrizes elementares invertíveis. E pela própria construção,
que é exatamente a forma escalonada reduzida por linhas de
.
Resposta
Basta escolher
como o produto das matrizes elementares usadas no processo de eliminação de Gauss–Jordan. Sendo produto de invertíveis,
é invertível, e
estará em RREF.