6^{\mathrm{a}}. (4 escores) Encontre a função aceleração e a função deslocamento se a função velocidade de uma partícula, para um tempo x, é dada por:
\mathrm{v}(\mathrm{x})=\mathrm{a}+\mathrm{b} \cdot \operatorname{sen}(\mathrm{cx}+\mathrm{d})
sendo constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} \mathrm{c} “e” d .

Passo 1

O enunciado dá a função velocidade
v(x) = a + b\sin\bigl(cx + d\bigr)
onde a, b, c e d são constantes, e pede:
  1. a função aceleração (isto é, a(x)=v'(x));
  2. a função deslocamento (isto é, s(x)=\int v(x)\,dx).
    Para isso vamos usar:
  • Derivada de \sin(u) é \cos(u) vezes u' (regra da cadeia).
  • Integral de \sin(u) é -\cos(u)/u' (também pela cadeia).

Passo 2

Derivando v(x) em relação a x obtemos a aceleração a(x). A derivada de a (constante) é zero e a de b\sin(cx+d) é
\frac{d}{dx}\Bigl[b\sin(cx+d)\Bigr] = b\cdot\cos(cx+d)\cdot\frac{d}{dx}(cx+d) = b\,c\cos\bigl(cx+d\bigr).
Logo, a função aceleração é
a(x)=v'(x)=b\,c\cos\bigl(cx+d\bigr).

Passo 3

Para achar o deslocamento s(x) integramos v(x):
s(x)=\int v(x)\,dx =\int\bigl[a + b\sin(cx+d)\bigr]dx =\int a\,dx + \int b\sin(cx+d)\,dx.
Calculando cada parte:
\int a\,dx = a\,x, \qquad \int b\sin(cx+d)\,dx = b\cdot\bigl(-\tfrac{1}{c}\cos(cx+d)\bigr) = -\frac{b}{c}\cos\bigl(cx+d\bigr).
Acrescentamos uma constante de integração K. Assim
s(x)=a\,x \;-\;\frac{b}{c}\cos\bigl(cx+d\bigr)\;+\;K.

Resposta

A função aceleração é
a(x)=b\,c\cos\bigl(cx+d\bigr)
e a função deslocamento é
s(x)=a\,x \;-\;\frac{b}{c}\cos\bigl(cx+d\bigr)\;+\;K,
onde K é a constante de integração.

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