Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A.
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & -1 \\\\ 4 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: "encontre uma base do espaço nulo de A". Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\[4pt] 4 & 0 & -2 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma matriz A de tamanho 3\times3.
  • Queremos todas as soluções do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, isto é, o espaço nulo (kernel) de A.
  • A resposta pedida é uma base desse espaço nulo (um conjunto de vetores que gera o espaço nulo e é linearmente independente).]

Passo 2

O que é o espaço nulo e o que significa “achar uma base”?
  • Espaço nulo de A é o conjunto \{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 \mid A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}.
  • Uma base do espaço nulo é um conjunto de vetores que gera esse conjunto (qualquer vetor do espaço nulo é combinação linear deles) e que são linearmente independentes.
  • Método prático: resolver o sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} por eliminação de Gauss (ou leitura das equações), escrever a solução em forma paramétrica e extrair os vetores geradores correspondentes aos parâmetros livres.

Passo 3

Escrevendo \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^\top\) e o sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). As equações implícitas em forma escalar são: \[\begin{cases} 2x_1 + 0\cdot x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] 4x_1 + 0\cdot x_2 -2x_3 = 0,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0. \end{cases}
Vou simplificar as equações: a primeira é 2x_1 - x_3 = 0\]. A segunda é \(4x_1 -2x_3 =0, que é simplesmente o dobro da primeira, portanto não traz informação nova. A terceira é 0=0.]

Passo 4

Da equação não trivial 2x_1 - x_3 = 0 isolamos uma variável dependente. Por exemplo:
2x_1 - x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = 2x_1.
As variáveis que não aparecem restritas por essa equação são livres. Aqui x_2 não aparece em nenhuma equação não trivial, então x_2 é livre. Também podemos tomar x_1 como parâmetro livre e expressar x_3 em função dele.

Passo 5

Introduzimos parâmetros para as variáveis livres. Seja \lambda e \mu parâmetros reais e escolha:
x_1=\lambda,\qquad x_2=\mu,\qquad x_3=2\lambda.
Assim um vetor \mathbf{x} genérico do espaço nulo escreve-se
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda\\[4pt]\mu\\[4pt]2\lambda\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação prática: a solução geral é combinação linear dos vetores \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Esses dois vetores geram o espaço nulo. Precisamos checar que são linearmente independentes: nenhum é múltiplo do outro (o segundo tem componente x_2 não nula enquanto o primeiro tem x_2=0), logo são independentes.]

Passo 7

Verificação pela fórmula de posto (opcional, mas dá confiança): as linhas de A mostram que há apenas uma equação independente (posto \operatorname{rank}(A)=1), então a nulidade é 3-1=2. Isso confirma que o espaço nulo tem dimensão 2 e que precisamos de exatamente 2 vetores numa base — coincidente com os vetores que encontramos.

Resposta

\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}]

Exercícios relacionados