Use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.
\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a matriz é diagonalizável usando o método do Exercício 6 (ou seja, encontrar autovalores e autovetores e comparar multiplicidades).
Informações dadas: a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Não vamos ainda resolver nada — apenas identificamos o pedido e a matriz fornecida.]

Passo 2

Conceitos importantes que vamos usar (explicação didática e simples).
  • Autovalor e autovetor: um escalar \lambda é autovalor de A se existe um vetor não-nulo v tal que
Av=\lambda v.
Nesse caso v é um autovetor associado a \lambda.
  • Como encontrar autovalores: resolvemos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade.
  • Multiplicidade algébrica: a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico (quantas vezes \lambda aparece como raiz).
  • Multiplicidade geométrica: a dimensão do espaço nulo de A-\lambda I, isto é, o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
  • Condição de diagonalizabilidade para matriz n\times n: A é diagonalizável se, e só se, para cada autovalor \lambda a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, ou equivalentemente se existe um conjunto de n autovetores linearmente independentes.
Um exemplo rápido para fixar: a matriz \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} tem autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2, mas só um autovetor (multiplicidade geométrica 1), por isso não é diagonalizável.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A.
Escrevemos A-\lambda I e calculamos o determinante:
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 2-\lambda & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira linha tem dois zeros, o determinante fatoriza facilmente:
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 \\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 \\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(2-\lambda)-0\cdot 1=(2-\lambda)^2.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(2-\lambda)^2.]

Passo 4

Encontrar autovalores e suas multiplicidades algébricas.
Das raízes do polinômio característico obtemos os autovalores:
\lambda_1=3\quad\text{com multiplicidade algébrica }1,é
\lambda_2=2\quad\text{com multiplicidade algébrica }2.é

Passo 5

Determinar a multiplicidade geométrica para \lambda=3: resolver (A-3I)x=0.
Escrevemos A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A-3I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}:
  • Primeira equação: 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0 (não impõe restrição).
  • Segunda equação: -1\cdot y=0 y=0.
  • Terceira equação: 1\cdot y-1\cdot z=0 ⇒ como y=0 segue z=0.
Logo y=0 e z=0, e x é livre. Portanto os vetores solução têm a forma
\begin{pmatrix}x\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad x\neq 0.
O espaço próprio associado a \lambda=3 é de dimensão 1. Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=3 é 1.
Um autovetor (base do espaço próprio) pode ser escolhido como \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Determinar a multiplicidade geométrica para \lambda=2: resolver (A-2I)x=0.
Escrevemos A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A-2I)\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}:
  • Primeira equação: 1\cdot x=0 x=0.
  • Segunda equação: 0=0 (sem informação).
  • Terceira equação: 1\cdot y=0 y=0.
Logo x=0, y=0, e z é livre. Os vetores solução têm a forma
\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad z\neq 0.
O espaço próprio associado a \lambda=2 é de dimensão 1. Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1.
Um autovetor (base do espaço próprio) pode ser escolhido como \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparar multiplicidades algébricas e geométricas e concluir sobre diagonalizabilidade.
  • Para \lambda=3: multiplicidade algébrica 1, geométrica 1 — OK.
  • Para \lambda=2: multiplicidade algébrica 2, geométrica 1 — não coincide.
Como existe um autovalor ( \lambda=2) cuja multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica, não é possível obter 3 autovetores linearmente independentes. Portanto A não é diagonalizável.
Intuição rápida: a multiplicidade algébrica diz quantas vezes o valor aparece como raiz; para diagonalizar precisamos a mesma quantidade de autovetores independentes para “preencher” a base. Aqui faltou um autovetor associado a \lambda=2.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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