Use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável. \left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a matriz é diagonalizável usando o método do Exercício 6 (ou seja, encontrar autovalores e autovetores e comparar multiplicidades).
Não vamos ainda resolver nada — apenas identificamos o pedido e a matriz fornecida.]
Passo 2
Conceitos importantes que vamos usar (explicação didática e simples).
Autovalor e autovetor: um escalar \lambda é autovalor de A se existe um vetor não-nulo v tal que
Av=\lambda v.
Nesse caso v é um autovetor associado a \lambda.
Como encontrar autovalores: resolvemos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade.
Multiplicidade algébrica: a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico (quantas vezes \lambda aparece como raiz).
Multiplicidade geométrica: a dimensão do espaço nulo de A-\lambda I, isto é, o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
Condição de diagonalizabilidade para matriz n\times n: A é diagonalizável se, e só se, para cada autovalor \lambda a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, ou equivalentemente se existe um conjunto de n autovetores linearmente independentes.
Um exemplo rápido para fixar: a matriz \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} tem autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2, mas só um autovetor (multiplicidade geométrica 1), por isso não é diagonalizável.
Passo 3
Calcular o polinômio característico de A.
Escrevemos A-\lambda I e calculamos o determinante:
O espaço próprio associado a \lambda=2 é de dimensão 1. Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1.
Um autovetor (base do espaço próprio) pode ser escolhido como \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Comparar multiplicidades algébricas e geométricas e concluir sobre diagonalizabilidade.
Para \lambda=3: multiplicidade algébrica 1, geométrica 1 — OK.
Para \lambda=2: multiplicidade algébrica 2, geométrica 1 — não coincide.
Como existe um autovalor (\lambda=2) cuja multiplicidade geométrica é menor que a multiplicidade algébrica, não é possível obter 3 autovetores linearmente independentes. Portanto A não é diagonalizável.
Intuição rápida: a multiplicidade algébrica diz quantas vezes o valor aparece como raiz; para diagonalizar precisamos a mesma quantidade de autovetores independentes para “preencher” a base. Aqui faltou um autovetor associado a \lambda=2.