Expresse o produto A \mathbf{x} como uma combinação linear dos vetores coluna de A.
\left[\begin{array}{rrr}-3 & 6 & 2 \\\\ 5 & -4 & 0 \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ 1 & 8 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para expressar o produto A\mathbf{x} como uma combinação linear dos vetores coluna de A. As informações dadas são a matriz A e o vetor \mathbf{x}:
A=\begin{pmatrix} -3 & 6 & 2\\[4pt] 5 & -4 & 0\\[4pt] 2 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 8 & 3 \end{pmatrix} \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro identifiquemos explicitamente os vetores coluna de A. Vou chamar de c_1,c_2,c_3 as colunas:
c_1=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]5\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-4\\[4pt]3\\[4pt]8\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Também escrevemos as componentes do vetor \mathbf{x}:
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]5\end{pmatrix},
logo x_1=-1, x_2=2, x_3=5.]

Passo 3

Agora a propriedade fundamental que usamos: o produto matriz-vetor A\mathbf{x} é exatamente a combinação linear das colunas de A com as componentes de \mathbf{x} como coeficientes. Em fórmulas:
A\mathbf{x}=x_1c_1+x_2c_2+x_3c_3.
Isso significa que multiplicamos cada coluna c_j pelo escalar x_j e somamos os resultados componente a componente.

Passo 4

Calculemos cada termo escalar vezes coluna separadamente. Primeiro -1 vezes c_1:
-1\cdot c_1 = -1\cdot\begin{pmatrix}-3\\[4pt]5\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\cdot(-3)\\[4pt]-1\cdot 5\\[4pt]-1\cdot 2\\[4pt]-1\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]-5\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Agora 2 vezes c_2:
2\cdot c_2 = 2\cdot\begin{pmatrix}6\\[4pt]-4\\[4pt]3\\[4pt]8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12\\[4pt]-8\\[4pt]6\\[4pt]16\end{pmatrix}.
E por fim 5 vezes c_3:
5\cdot c_3 = 5\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10\\[4pt]0\\[4pt]-5\\[4pt]15\end{pmatrix}.]

Passo 5

Somamos agora os três vetores resultantes componente a componente:
A\mathbf{x} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-5\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}12\\[4pt]-8\\[4pt]6\\[4pt]16\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}10\\[4pt]0\\[4pt]-5\\[4pt]15\end{pmatrix}.
Somando linha a linha:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& 3+12+10 = 25,\\[4pt] \text{2ª componente: }& -5+(-8)+0 = -13,\\[4pt] \text{3ª componente: }& -2+6+(-5) = -1,\\[4pt] \text{4ª componente: }& -1+16+15 = 30. \end{aligned}ªªªª
Portanto o vetor resultante é o que obtivemos na soma acima.]

Resposta

A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}25\\[4pt]-13\\[4pt]-1\\[4pt]30\end{pmatrix}]

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