Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral usando fatoriais e começando com
.
,
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de produtos onde, para cada termo, multiplicamos números consecutivos começando de 1. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
O conteúdo envolvido aqui é o conceito de fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até um certo número. Vamos usar os fatoriais para encontrar uma fórmula que descreva qualquer termo geral dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fatorial. O fatorial de um número
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Por exemplo:
Passo 3
Observando os termos da sequência:
- Para
, temos - Para
, temos - Para
, temos
Perceba que, para cada valor de
, o produto vai até o número
. Ou seja, para
, até
; para
, até
, e assim por diante.
Passo 4
Então, podemos generalizar essa observação. Para qualquer valor de
, o termo geral da sequência é o fatorial de
, ou seja:
Isso significa que, para encontrar o
-ésimo termo da sequência, você multiplica todos os números de 1 até
.
Resposta
A fórmula para o termo geral da sequência é: