Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral usando fatoriais e começando com n=1.
1 cdot 2,1 cdot 2 cdot 3 cdot 4,1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6, 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7 cdot 8, ldots

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de produtos onde, para cada termo, multiplicamos números consecutivos começando de 1. Por exemplo:
  • Para n=1: 1 cdot 2
  • Para n=2: 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4
  • Para n=3: 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6
  • E assim por diante.
O conteúdo envolvido aqui é o conceito de fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até um certo número. Vamos usar os fatoriais para encontrar uma fórmula que descreva qualquer termo geral dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fatorial. O fatorial de um número k, representado por k!, é o produto de todos os números inteiros de 1 até k. Por exemplo:
  • 2! = 1 cdot 2 = 2
  • 4! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 = 24
  • 6! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 = 720

Passo 3

Observando os termos da sequência:
  • Para n=1, temos 1 cdot 2 = 2!
  • Para n=2, temos 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 = 4!
  • Para n=3, temos 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 = 6!
Perceba que, para cada valor de n, o produto vai até o número 2n. Ou seja, para n=1, até 2 cdot 1 = 2; para n=2, até 2 cdot 2 = 4, e assim por diante.

Passo 4

Então, podemos generalizar essa observação. Para qualquer valor de n, o termo geral da sequência é o fatorial de 2n, ou seja:
Tn = (2n)!
Isso significa que, para encontrar o n-ésimo termo da sequência, você multiplica todos os números de 1 até 2n.

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:
Tn = (2n)!

Exercícios relacionados