Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
Em relação a este problema responda:
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) Considerando a condição inicial
e
, encontre a solução particular que a satisfaz.
(e) Se a função
encontrada no item anterior representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) Considerando a condição inicial
(e) Se a função
Passo 1
O problema é um PVI para uma equação de segunda ordem com amortecimento. Vamos transformar em um sistema de EDOs de primeira ordem, encontrar autovalores e autovetores, escrever a solução geral, aplicar as condições iniciais e, por fim, interpretar o comportamento físico do sistema.
Passo 2
Para escrever o sistema de EDOs de primeira ordem, definimos
e
. Assim, em notação matricial temos:
[
=
.
=
Passo 3
A matriz do sistema é
. O polinômio característico é
, cujas raízes são
Correspondentes vetores próprios podem ser escolhidos como
Passo 4
A solução geral do sistema é
Em termos de
Passo 5
Aplicando as condições iniciais:
implica
, e
leva a
. Portanto a solução particular é
Passo 6
Como a parte real dos autovalores é negativa (
), temos um sistema subamortecido: a massa realiza oscilações cuja amplitude decresce exponencialmente, tendendo a zero conforme
.
Resposta
A solução particular é
que representa oscilações amortecidas com amplitude exponencialmente decrescente, tendendo a zero quando