Considere o seguinte PVI envolvendo uma equação de segunda ordem, por meio da resolução do sistema de EDOs bidimensional associado a esta:
u^prime prime+0,5 u^prime+2 u=0
Em relação a este problema responda:
(a) Escreva o sistema de EDOs primeira ordem equivalente a esta equação.
(b) Encontre autovalores e autovetores para a matriz associada ao sistema
© Descreva como é uma solução geral deste problema.
(d) Considerando a condição inicial u(0)=1 e u^prime(0)=2, encontre a solução particular que a satisfaz.
(e) Se a função u(t) encontrada no item anterior representa o deslocamento de uma massa presa a uma mola, então o que podemos afirmar a respeito do que vai ocorrer com o deslocamento desta massa ao longo do tempo?

Passo 1

O problema é um PVI para uma equação de segunda ordem com amortecimento. Vamos transformar em um sistema de EDOs de primeira ordem, encontrar autovalores e autovetores, escrever a solução geral, aplicar as condições iniciais e, por fim, interpretar o comportamento físico do sistema.

Passo 2

Para escrever o sistema de EDOs de primeira ordem, definimos x1=u e x2=u'. Assim, em notação matricial temos:
[
x1'x2'
= 0 & 1-2 & -0.5
x1x2.

Passo 3

A matriz do sistema é A=0&1-2&-0.5. O polinômio característico é det(A-lambda I)=lambda^2+0.5lambda+2=0, cujas raízes são
lambda = -tfrac14 pm itfracraiz314
Correspondentes vetores próprios podem ser escolhidos como
v = 1lambda

Passo 4

A solução geral do sistema é
x(t)=C1 e^lambda1 tv1 + C2 e^lambda2 tv2
Em termos de u(t)=x1(t) e reescrevendo em forma real, fica
u(t)=e^-t/4l(Ccos(tfracraiz314t)+Dsin(tfracraiz314t)r)

Passo 5

Aplicando as condições iniciais: u(0)=1 implica C=1, e u'(0)=2 leva a D=9raiz31. Portanto a solução particular é
u(t)=e^-t/4l(cosl(tfracraiz314tr)+tfrac9raiz31sinl(tfracraiz314tr)r)

Passo 6

Como a parte real dos autovalores é negativa ( -1/4<0), temos um sistema subamortecido: a massa realiza oscilações cuja amplitude decresce exponencialmente, tendendo a zero conforme ttoinfty.

Resposta

A solução particular é
u(t)=e^-t/4l(cosl(tfracraiz314tr)+tfrac9raiz31sinl(tfracraiz314tr)r),
que representa oscilações amortecidas com amplitude exponencialmente decrescente, tendendo a zero quando ttoinfty.

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