Encontre o termo geral da sequência, começando com n=1, determine se a sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
0, 12^2, 23^2, 34^2, ldots

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o termo geral de uma sequência cujos primeiros termos são 0, tfrac12^2, tfrac23^2, tfrac34^2,… Começamos em n=1 e depois investigamos se ela converge e, em caso positivo, qual é o limite. Para isso, vamos precisar reconhecer o padrão dos termos e usar noções de limite de sequência.

Passo 2

Observando os termos da sequência, vemos que o numerador cresce em 1 a cada termo, iniciando em 0, e o denominador é sempre o quadrado do índice. Ou seja, para n=1,2,3,dots temos:
an=n-1n^2
A gente confere rapidamente nos primeiros valores: para n=1 (1-1)/1^2=0, para n=2 (2-1)/2^2=1/4, para n=3 (3-1)/3^2=2/9, etc. Tudo bate.

Passo 3

Para estudar a convergência, escrevemos
an=n-1n^2=nn^2-1n^2=1n-1n^2

Passo 4

Como sabemos que limntoinftytfrac1n=0 e limntoinftytfrac1n^2=0, pela propriedade da soma de limites,
limntoinftyan=0-0=0

Resposta

an=n-1n^2, a sequência converge e o limite é 0.

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