(3,0)
Usando o teste da derivada segunda, calcule os extremos relativos de f(x)=xx^2+1.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos usar o teste da derivada segunda para encontrar os extremos relativos de f(x)=x/(x²+1). Vamos calcular f
'(x), achar os pontos críticos e depois usar f
‘’(x) para classificar cada um.

Passo 2

Aplicação da regra do quociente para obter a primeira derivada. Temos f(x)=x/(x²+1) e, pela regra do quociente,
f'(x)=(x^2+1)cdot1 - xcdot2x(x^2+1)^2=1 - x^2(x^2+1)^2

Passo 3

Identificação dos pontos críticos: resolvemos f
'(x)=0, ou seja,
1 - x^2 = 0 Longrightarrow x = pm1

Passo 4

Cálculo da segunda derivada. Partindo de f
'(x)=(1–x²)/(x²+1)² e aplicando novamente o quociente, obtemos
f''(x)=2x,(x^2 - 3)(x^2+1)^3

Passo 5

Classificação dos extremos pelo sinal de f
‘’(x): avaliando em x=1 e em x=-1:
Para x=1:
f''(1)=2cdot1,(1-3)(1+1)^3=-48=-tfrac12<0,

Passo 6

logo temos máximo local em x=1.
Para x=-1:
f''(-1)=2cdot(-1),(1-3)(1+1)^3=48=tfrac12>0,

Passo 7

logo temos mínimo local em x=-1.

Resposta

Máximo relativo em (1,tfrac12) e mínimo relativo em (-1,-tfrac12).

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