Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral usando fatoriais e começando com n=1.
(b) 1,1 cdot 2 cdot 3,1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5,1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7, ldots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do termo geral de uma sequência cujos termos são produtos de 1 até um número ímpar crescente: 1, 1·2·3, 1·2·3·4·5, 1·2·3·4·5·6·7, … Começa em n=1 e precisamos usar fatoriais para expressar isso.

Passo 2

Observando os produtos, vemos que o n-ésimo termo multiplica de 1 até um número ímpar k_n. Essa sequência de números ímpares é 1, 3, 5, 7, … que é uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 2.

Passo 3

O termo geral dos números ímpares é dado por k_n = 1 + (n-1)·2 = 2n-1. Sabendo disso, o produto de 1 até k_n é exatamente o fatorial de k_n.

Passo 4

Pela definição de fatorial, o produto de 1 até k_n é k_n!. Substituindo k_n = 2n-1, concluímos que o termo geral é a_n = (2n-1)!.

Resposta

an = (2n - 1)!

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