Resolva o P.V.I. lly^prime+2t y=cos tt^2 y(pi)=1 com t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO 1ª ordem). O enunciado nos dá uma EDO bem específica e uma condição inicial: . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é ótimo para resolver equações lineares desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão de uma EDO linear de 1ª ordem, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, temos:
P(t) = 2t e Q(t) = cos tt^2

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar na equação para torná-la mais fácil de integrar. O fator integrante ( mu(t) = e^integral P(t) dt ) é dado por:
mu(t) = e^integral 2t dt = e^2 ln t = t^2
Vamos calcular isso:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante t^2 y' + t^2 cdot 2t y = t^2 cdot cos tt^2 :
t^2 y' + 2t y = cos t
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com ddt (t^2 y) = cos t :
ddt (t^2 y) = t^2 y' + 2t y
Isso acontece porque:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a integral ddt (t^2 y) dt = integral cos t , dt :
t^2 y = sin t + C
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y = sin t + Ct^2 :

Passo 8

Usamos a condição inicial 1 = sin pi + Cpi^2 para encontrar 1 = Cpi^2 implies C = pi^2 :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução do P.V.I. é:
y(t) = sin t + pi^2t^2

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