Resolva o P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que é uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO 1ª ordem). O enunciado nos dá uma EDO bem específica e uma condição inicial:
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é ótimo para resolver equações lineares desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão de uma EDO linear de 1ª ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar na equação para torná-la mais fácil de integrar. O fator integrante (
) é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
:
Isso acontece porque:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução do P.V.I. é: