Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral usando fatoriais e começando com n=1.
(a) 1 cdot 2,1 cdot 2 cdot 3 cdot 4,1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6, 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7 cdot 8, ldots

Passo 1

Nesse exercício, temos a sequência cujos termos são produtos de inteiros consecutivos: 1·2, 1·2·3·4, 1·2·3·4·5·6, 1·…·8, …, e queremos achar a fórmula do termo geral a partir de n=1. O conteúdo envolve sequências definidas por produtos e uso de fatorial. Vamos precisar da definição de fatorial: para qualquer inteiro k≥1, temos
k! = 1·2·3··k

Passo 2

Primeiro, identificamos os primeiros termos em forma de fatorial. O 1º termo é 1·2, que é exatamente 2!. O 2º termo é 1·2·3·4, ou seja, 4!. O 3º termo é 1·2·…·6 = 6!, e assim por diante. Isso mostra que cada termo é o fatorial de um número par.

Passo 3

Agora, relacionamos o índice n àquele número par cujo fatorial gera o termo. Observando que para n=1 aparecem 2 fatores, para n=2 aparecem 4 fatores, para n=3 aparecem 6 fatores, vemos que esse número é 2n. Portanto, o n-ésimo termo é o fatorial de 2n.

Passo 4

Concluímos que a fórmula geral da sequência, para n≥1, é dada por
an = (2n)!
Podemos verificar rapidamente: para n=1, a_1 = (2·1)! = 2! = 2; para n=2, a_2 = 4! = 24; para n=3, a_3 = 6! = 720, conferindo os termos dados.

Resposta

an = (2n)!

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