Em cada parte, encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^{\pi}-1}{h}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado dá o limite
\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{\pi}-1}{h}.
  • A pergunta é: calcular esse limite numérico.
Nada mais é fornecido. Não vou resolver aqui, só deixei claro o que é pedido e a expressão que temos.

Passo 2

Reconhecer a expressão como um quociente fundamental de derivada.
  • Lembrete importante: a definição de derivada de uma função f no ponto a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe.
  • Compare a expressão dada com a forma acima. Se escolhermos a função
f(x)=x^{\pi}
e o ponto a=1, então
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{\pi}-1^{\pi}}{h}=\frac{(1+h)^{\pi}-1}{h},
que é exatamente a expressão do enunciado. Portanto o limite pedido é simplesmente f'(1), isto é, a derivada de x^{\pi} avaliada em x=1.

Passo 3

Como calcular a derivada de f(x)=x^{\pi} (regra para potência com expoente real).
  • Para expoentes inteiros positivos é comum usar a regra do binômio ou a regra do poder; para expoentes reais (como \pi) usamos diferenciação via logaritmo (chamada diferenciação logarítmica) ou reconhecendo que
x^{\pi}=e^{\pi\ln x},
válido para x>0 (aqui x=1>0, então tudo OK).
  • Aplicar derivação à expressão f(x)=e^{\pi\ln x}. Primeiro usamos a regra da cadeia para a exponencial: se g(x)=e^{u(x)}, então g'(x)=e^{u(x)}\,u'(x). Aqui u(x)=\pi\ln x.
  • Calcular u'(x). Como \pi é constante,
u'(x)=\pi\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\pi\cdot\frac{1}{x}.
  • Agora aplicar a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{\pi\ln x}=e^{\pi\ln x}\cdot\left(\pi\cdot\frac{1}{x}\right).
Mas e^{\pi\ln x}=x^{\pi}, então
f'(x)=\pi\,x^{\pi}\cdot\frac{1}{x}=\pi\,x^{\pi-1}.
  • Portanto a fórmula (regra do poder para expoente real) ficou demonstrada para este caso:
\frac{d}{dx}x^{\pi}=\pi\,x^{\pi-1}\quad\text{(para \(x>0\)).}

Passo 4

Avaliar a derivada em x=1 para obter o limite.
  • Substituindo x=1 na fórmula f'(x)=\pi\,x^{\pi-1} obtemos
f'(1)=\pi\cdot 1^{\pi-1}.
  • Como 1^{\text{qualquer número}}=1ú, isso dá
f'(1)=\pi.
  • Portanto o limite original vale \pi.

Passo 5

Exemplo concreto curto e dica para a prova.
  • Exemplo concreto com expoente inteiro para sentir a ideia: calcule
\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^2-1}{h}.
Expandindo (1+h)^2=1+2h+h^2 dá quociente \frac{2h+h^2}{h}=2+h, cujo limite quando h\to 0 é 2. Isso é exatamente a derivada de x^2 em x=1, que é 2.
  • Dica rápida para a prova: ao ver um limite da forma \lim_{h\to0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h} reconheça imediatamente que é g'(1). Se g(x) for uma potência x^{\alpha} com \alpha real, use g'(x)=\alpha x^{\alpha-1} (ou faça diferenciação logarítmica se tiver dúvida).
Força aí — essa era só um reconhecimento de derivada; se conseguir ver o padrão, esses limites viram pergunta rápida na prova.

Resposta

\pi

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