Em cada parte, encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado dá o limite
- A pergunta é: calcular esse limite numérico.
Nada mais é fornecido. Não vou resolver aqui, só deixei claro o que é pedido e a expressão que temos.
Passo 2
Reconhecer a expressão como um quociente fundamental de derivada.
- Lembrete importante: a definição de derivada de uma função
no ponto é
quando esse limite existe.
- Compare a expressão dada com a forma acima. Se escolhermos a função
e o ponto
, então
que é exatamente a expressão do enunciado. Portanto o limite pedido é simplesmente
, isto é, a derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Como calcular a derivada de
(regra para potência com expoente real).
- Para expoentes inteiros positivos é comum usar a regra do binômio ou a regra do poder; para expoentes reais (como
) usamos diferenciação via logaritmo (chamada diferenciação logarítmica) ou reconhecendo que
válido para
(aqui
, então tudo OK).
-
Aplicar derivação à expressão
. Primeiro usamos a regra da cadeia para a exponencial: se , então . Aqui . -
Calcular
. Como é constante,
- Agora aplicar a regra da cadeia:
Mas
, então
- Portanto a fórmula (regra do poder para expoente real) ficou demonstrada para este caso:
Passo 4
Avaliar a derivada em
para obter o limite.
- Substituindo
na fórmula obtemos
- Como
, isso dá
- Portanto o limite original vale
.
Passo 5
Exemplo concreto curto e dica para a prova.
- Exemplo concreto com expoente inteiro para sentir a ideia: calcule
Expandindo
dá quociente
, cujo limite quando
é
. Isso é exatamente a derivada de
em
, que é
.
- Dica rápida para a prova: ao ver um limite da forma
reconheça imediatamente que é . Se for uma potência com real, use (ou faça diferenciação logarítmica se tiver dúvida).
Força aí — essa era só um reconhecimento de derivada; se conseguir ver o padrão, esses limites viram pergunta rápida na prova.