Mostre que a função y=\operatorname{arc} \operatorname{tg} x satisfaz
y^{\prime \prime}=-2 \operatorname{sen} y \cos ^{3} y

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=\operatorname{arc}\operatorname{tg} x e pede para mostrar que a segunda derivada satisfaz
y''=-2\operatorname{sen}y\cos^{3}y.
Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
  • y é função de x: y(x)=\operatorname{arc}\operatorname{tg} x.
  • Sendo y=\operatorname{arc}\operatorname{tg} x, vale a relação inversa \,x=\tan y.
  • O objetivo é calcular y'=\dfrac{dy}{dx} e y''=\dfrac{d^2y}{dx^2} e transformar o resultado para a forma com \operatorname{sen}y e \cos y.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y'.
Lembrando uma fórmula básica de derivação: a derivada de \operatorname{arc}\operatorname{tg} x em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arc}\operatorname{tg} x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto,
y'=\frac{1}{1+x^{2}}.
Agora, como o enunciado pede uma identidade em termos de y usando \sin y e \cos y, é natural usar a relação inversa \,x=\tan y. Substituindo \,x=\tan y em y':
y'=\frac{1}{1+\tan^{2}y}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \,1+\tan^{2}y=\operatorname{sec}^{2}y=\frac{1}{\cos^{2}y}, obtemos
\frac{1}{1+\tan^{2}y}=\cos^{2}y.
Logo
y'=\cos^{2}y.
Explicação curta do porquê disso funcionar: como \tan y pode explodir, transformar 1/(1+\tan^2 y) em \cos^2 y simplifica muito a diferenciação seguinte.

Passo 3

Calcular a segunda derivada y'' usando a expressão y'=\cos^{2}y.
Vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, de forma simples: se u=y(x) é função de x e F(u) é uma função de u, então
\frac{d}{dx}F(u(x))=F'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui F(u)=\cos^{2}u com u=y(x). Primeiro derivamos F em relação a u, depois multiplicamos por u'=y'.
A derivada de \cos^{2}u em relação a u é, por regra da potência e derivada de \cos:
\frac{d}{du}\big(\cos^{2}u\big)=2\cos u\cdot\frac{d}{du}(\cos u)=2\cos u\cdot(-\sin u)=-2\sin u\cos u.
Aplicando a regra da cadeia:
y''=\frac{d}{dx}\big(\cos^{2}y\big)=\big(-2\sin y\cos y\big)\cdot y'.

Passo 4

Substituir y' na expressão do passo anterior.
Do passo 2 sabemos que y'=\cos^{2}y. Inserindo em
y''=(-2\sin y\cos y)\cdot y'
vem
y''=(-2\sin y\cos y)\cdot\cos^{2}y=-2\sin y\cos^{3}y.
Assim chegamos exatamente à forma pedida.

Passo 5

Verificação alternativa (checagem útil para a prova): podemos também escrever o resultado em função de x para confirmar que as contas estão coerentes.
Sabendo que \sin y=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} e \cos y=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} (porque x=\tan y), temos
-2\sin y\cos^{3}y=-2\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1}{(1+x^{2})^{3/2}}=-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Por outro lado, derivando diretamente y'=\dfrac{1}{1+x^{2}} em relação a x obtemos
y''=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)=-\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
As duas expressões coincidem, o que confirma a identidade.

Resposta

y''=-2\operatorname{sen}y\cos^{3}y

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