Mostre que a função
satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que a segunda derivada satisfaz
Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
-
é função de : . - Sendo
, vale a relação inversa . - O objetivo é calcular
e e transformar o resultado para a forma com e .
Passo 2
Calcular a primeira derivada
.
Lembrando uma fórmula básica de derivação: a derivada de
em relação a
é
Portanto,
Agora, como o enunciado pede uma identidade em termos de
usando
e
, é natural usar a relação inversa
. Substituindo
em
:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtemos
Logo
Explicação curta do porquê disso funcionar: como
pode explodir, transformar
em
simplifica muito a diferenciação seguinte.
Passo 3
Calcular a segunda derivada
usando a expressão
.
Vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, de forma simples: se
é função de
e
é uma função de
, então
Aqui
com
. Primeiro derivamos
em relação a
, depois multiplicamos por
.
A derivada de
em relação a
é, por regra da potência e derivada de
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Substituir
na expressão do passo anterior.
Do passo 2 sabemos que
. Inserindo em
vem
Assim chegamos exatamente à forma pedida.
Passo 5
Verificação alternativa (checagem útil para a prova): podemos também escrever o resultado em função de
para confirmar que as contas estão coerentes.
Sabendo que
e
(porque
), temos
Por outro lado, derivando diretamente
em relação a
obtemos
As duas expressões coincidem, o que confirma a identidade.