Em cada parte, encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o limite
. - Ao substituir
no numerador: . - Ao substituir
no denominador: . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
quando . - O objetivo é calcular esse limite.
Passo 2
Reescrever a expressão de forma que apareça um quociente que lembre a definição de derivada:
- Primeiro note que
, então o numerador pode ser escrito como . - Assim
- Colocando um sinal negativo para ter a diferença na ordem usual
:
- Agora separamos fatores:
Passo 3
Identificar a primeira parte como uma derivada (aqui vem a ideia principal):
- Lembre da definição de derivada: para uma função
e ponto ,
- Tomando
e , o fator é exatamente a diferença quociente de em . Portanto
- Agora precisamos do valor de
para . Uma fórmula básica e muito usada é
- Isso significa que
.
(Se ficar na dúvida: essa fórmula vem do fato de queé a função inversa de ; diferenciar a inversa ou aplicar a definição leva a esse resultado.)
Passo 4
Analisar o segundo fator
quando
:
- A função
é contínua em , e . - Logo
Passo 5
Multiplicar os limites (produto de limites quando existem):
- Já vimos que
- Lembrando o sinal negativo que colocamos na Passo 2, o limite original é