Em cada parte, encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.
\lim _{x \rightarrow e} \frac{1-\ln x}{(x-e) \ln x}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o limite \displaystyle \lim_{x\to e}\frac{1-\ln x}{(x-e)\ln x}.
  • Ao substituir x=e no numerador: 1-\ln e=1-1=0.
  • Ao substituir x=e no denominador: (e-e)\ln e=0\cdot1=0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0 quando x\to e.
  • O objetivo é calcular esse limite.

Passo 2

Reescrever a expressão de forma que apareça um quociente que lembre a definição de derivada:
  • Primeiro note que \ln e=1, então o numerador pode ser escrito como \ln e-\ln x.
  • Assim
\frac{1-\ln x}{(x-e)\ln x}=\frac{\ln e-\ln x}{(x-e)\ln x}.
  • Colocando um sinal negativo para ter a diferença na ordem usual \ln x-\ln e:
\frac{\ln e-\ln x}{(x-e)\ln x} = -\frac{\ln x-\ln e}{(x-e)\ln x}.
  • Agora separamos fatores:
-\frac{\ln x-\ln e}{(x-e)\ln x} = -\left(\frac{\ln x-\ln e}{x-e}\right)\cdot\frac{1}{\ln x}.

Passo 3

Identificar a primeira parte como uma derivada (aqui vem a ideia principal):
  • Lembre da definição de derivada: para uma função f e ponto a,
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
  • Tomando f(x)=\ln x e a=e, o fator \dfrac{\ln x-\ln e}{x-e} é exatamente a diferença quociente de f em a. Portanto
\lim_{x\to e}\frac{\ln x-\ln e}{x-e}=f'(e).
  • Agora precisamos do valor de f'(x) para f(x)=\ln x. Uma fórmula básica e muito usada é
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
  • Isso significa que f'(e)=\dfrac{1}{e}.
    (Se ficar na dúvida: essa fórmula vem do fato de que \ln x é a função inversa de e^x; diferenciar a inversa ou aplicar a definição leva a esse resultado.)

Passo 4

Analisar o segundo fator \dfrac{1}{\ln x} quando x\to e:
  • A função \ln x é contínua em x=e, e \ln e=1.
  • Logo
\lim_{x\to e}\frac{1}{\ln x}=\frac{1}{\ln e}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Multiplicar os limites (produto de limites quando existem):
  • Já vimos que
\lim_{x\to e}\frac{\ln x-\ln e}{x-e}=\frac{1}{e} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to e}\frac{1}{\ln x}=1.
  • Lembrando o sinal negativo que colocamos na Passo 2, o limite original é
\lim_{x\to e}\frac{1-\ln x}{(x-e)\ln x} = -\left(\frac{1}{e}\right)\cdot 1 = -\frac{1}{e}.

Resposta

-\dfrac{1}{e}

Exercícios relacionados