Encontre d y / d x.
y=\cos ^{3}(\operatorname{sen} 2 x)

Passo 1

O enunciado pede claramente: encontrar \dfrac{d y}{d x} para a função dada. As informações do enunciado são:
  • A função é \displaystyle y=\cos^{3}\bigl(\sin 2x\bigr).
  • A tarefa é calcular a derivada \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Vamos identificar as camadas da função (isso ajuda a aplicar a regra da cadeia passo a passo):
  • A camada mais externa é a potência de expoente 3: (\cdot)^{3}.
  • A camada intermediária é a função cosseno: \cos(\cdot).
  • A camada interna é a função seno aplicada a 2x: \sin(2x).
    Em símbolos, se definirmos
u(x)=\cos\bigl(\sin 2x\bigr), \qquad y(x)=u(x)^{3},
então usaremos a regra da cadeia repetidas vezes para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Lembrando a regra da potência (uma forma do que chamamos de “regra do produto composto”): se y=u^{n} com u=u(x) e n constante, então
\frac{dy}{dx}=n\,u^{\,n-1}\,\frac{du}{dx}.
Aplicando isso aqui com n=3 e u=\cos(\sin 2x), obtemos a forma inicial
\frac{dy}{dx}=3\,u^{2}\,\frac{du}{dx}.
(Isto é apenas a primeira etapa: derivamos a potência mantendo a função interna e multiplicamos pela derivada da interna.)

Passo 4

Agora precisamos de \dfrac{du}{dx} com u(x)=\cos\bigl(\sin 2x\bigr). Use a regra da cadeia novamente: se u=\cos(v) com v=v(x), então
\frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}.
A derivada da função cosseno é \dfrac{d}{dv}\cos v=-\sin v. Portanto, com v(x)=\sin 2x,
\frac{du}{dx}=-\sin(v)\cdot\frac{dv}{dx}.

Passo 5

Falta \dfrac{dv}{dx} para v(x)=\sin 2x. Novamente, regra da cadeia: se v=\sin(w) com w=w(x), então \dfrac{dv}{dx}=\cos(w)\cdot\dfrac{dw}{dx}. Aqui w(x)=2x, então \dfrac{dw}{dx}=2. Logo
\frac{dv}{dx}=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos 2x.
Também podemos ver isso diretamente: a derivada de \sin(2x) é \cos(2x) vezes a derivada de 2x, que é 2.

Passo 6

Agora juntamos tudo. Temos:
\frac{dy}{dx}=3\,u^{2}\,\frac{du}{dx} =3\,u^{2}\left(-\sin(v)\cdot\frac{dv}{dx}\right) =3\,u^{2}\left(-\sin(v)\right)\left(2\cos 2x\right),
onde lembramos que u=\cos(\sin 2x) e v=\sin 2x. Substituindo u e v de volta, obtemos a expressão não simplificada
\frac{dy}{dx}=3\bigl(\cos(\sin 2x)\bigr)^{2}\bigl(-\sin(\sin 2x)\bigr)\bigl(2\cos 2x\bigr).

Resposta

-6\cos^{2}\bigl(\sin 2x\bigr)\sin\bigl(\sin 2x\bigr)\cos 2x

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