Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede claramente: encontrar
para a função dada. As informações do enunciado são:
- A função é
. - A tarefa é calcular a derivada
.
Passo 2
Vamos identificar as camadas da função (isso ajuda a aplicar a regra da cadeia passo a passo):
- A camada mais externa é a potência de expoente
: . - A camada intermediária é a função cosseno:
. - A camada interna é a função seno aplicada a
: .
Em símbolos, se definirmos
então usaremos a regra da cadeia repetidas vezes para obter
.
Passo 3
Lembrando a regra da potência (uma forma do que chamamos de “regra do produto composto”): se
com
e
constante, então
Aplicando isso aqui com
e
, obtemos a forma inicial
(Isto é apenas a primeira etapa: derivamos a potência mantendo a função interna e multiplicamos pela derivada da interna.)
Passo 4
Agora precisamos de
com
. Use a regra da cadeia novamente: se
com
, então
A derivada da função cosseno é
. Portanto, com
,
Passo 5
Falta
para
. Novamente, regra da cadeia: se
com
, então
. Aqui
, então
. Logo
Também podemos ver isso diretamente: a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 6
Agora juntamos tudo. Temos:
onde lembramos que
e
. Substituindo
e
de volta, obtemos a expressão não simplificada