Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
(a) -2 x_{1}=6
3 x_{1}=8
9 x_{1}=-3
(b) 6 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=4
5 x_{2}-x_{3}=1
(c)
\begin{aligned} 2 x_{2}-3 x_{4}+x_{5} & =0 \\\\ -3 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =-1 \\\\ 6 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}-3 x_{5} & =6 \end{aligned}
(d) x_{1}-x_{5}=7

Passo 1

O enunciado pede para escrever, em cada caso, a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne, em cada linha, os coeficientes das incógnitas seguindo uma ordem fixa e, após uma barra vertical, o termo independente (lado direito). Para cada sistema devemos:
  1. Identificar todas as variáveis envolvidas e fixar uma ordem (mesmo se algumas não aparecem em certo equação, usamos coeficiente zero).
  2. Extrair os coeficientes das incógnitas nessa ordem e o termo independente.
  3. Montar a matriz com uma barra vertical separando a parte dos coeficientes da coluna dos termos independentes.

Passo 2

(a) Há apenas a incógnita x_{1}\). Temos três equações: \[\begin{cases} -2x_{1}=6,\\\\ 3x_{1}=8,\\\\ 9x_{1}=-3. \end{cases}
Na ordem (x_{1})\], cada linha da matriz é \((\text{coeficiente de }x_{1}\mid\text{termo independente}). Logo a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{c|c} -2 & 6\\\\ 3 & 8\\\\ 9 & -3 \end{array}\right].

Passo 3

(b) As variáveis são x_{1},x_{2},x_{3}\) nessa ordem. As equações são \[\begin{cases} 6x_{1}-x_{2}+3x_{3}=4,\\\\ 5x_{2}-x_{3}=1. \end{cases}
Na segunda linha não há x_{1}\], então o coeficiente dele é \(0. Cada linha segue o padrão (x_{1},x_{2},x_{3}\mid\text{termo}). A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & -1 & 3 & 4\\\\ 0 & 5 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

(c) As variáveis são (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}). As equações:
\begin{aligned} 2x_{2}-3x_{4}+x_{5}&=0,\\\\ -3x_{1}-x_{2}+x_{3}&=-1,\\\\ 6x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}-3x_{5}&=6. \end{aligned}
Em cada linha colocamos zeros para as incógnitas ausentes. Assim a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccccc|c} 0 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0\\\\ -3 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 6 & 2 & -1 & 2 & -3 & 6 \end{array}\right].

Passo 5

(d) Temos só a equação
x_{1}-x_{5}=7
e as variáveis (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}). Nas variáveis ausentes x_{2},x_{3},x_{4} colocamos coeficiente zero. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 7 \end{array}\right].

Resposta

(a)
\left[\begin{array}{c|c} -2 & 6\\\\ 3 & 8\\\\ 9 & -3 \end{array}\right]
(b)
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & -1 & 3 & 4\\\\ 0 & 5 & -1 & 1 \end{array}\right]
(c)
\left[\begin{array}{ccccc|c} 0 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0\\\\ -3 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 6 & 2 & -1 & 2 & -3 & 6 \end{array}\right]
(d)
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 7 \end{array}\right]

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