Em cada parte, encontre um sistema de equações lineares correspondente à matriz aumentada dada.
(a) \left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ -4 & -6 \\\\ 1 & -1 \\\\ 3 & 0\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & -1 & -1 & -1 \\\\ 5 & 2 & 0 & -3 & -6\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ -4 & -3 & -2 & -1 \\\\ 5 & -6 & 1 & 1 \\\\ -8 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{rrrrr}3 & 0 & 1 & -4 & 3 \\\\ -4 & 0 & 4 & 1 & -3 \\\\ -1 & 3 & 0 & -2 & -9 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma matriz aumentada, a gente escreva o sistema de equações lineares correspondente. Lembre que, se a matriz tem m linhas e n+1 colunas, as primeiras n colunas são os coeficientes das incógnitas x_{1},\dots,x_{n} e a última coluna são os termos constantes.

Passo 2

Para a parte (a) a matriz é de dimensão 4\times2. Isso significa que há uma única incógnita, que chamo de x, cujos coeficientes formam a primeira coluna e os termos constantes, a segunda. Assim as quatro linhas geram:
2x = -1
-4x = -6
1x = -1
3x = 0

Passo 3

Na parte (b) a matriz é 2\times5, logo há quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, e a quinta coluna é o vetor de constantes. As duas linhas dão:
0x_{1} + 3x_{2} - 1x_{3} - 1x_{4} = -1
5x_{1} + 2x_{2} + 0x_{3} - 3x_{4} = -6

Passo 4

Na parte (c) a matriz é 4\times4, de modo que temos três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}, e a quarta coluna é o termo constante. As quatro linhas viram:
1x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 4
-4x_{1} - 3x_{2} - 2x_{3} = -1
5x_{1} - 6x_{2} + 1x_{3} = 1
-8x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} = 3

Passo 5

Na parte (d) a matriz é 4\times5, então há quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, e a quinta coluna são as constantes. As equações são:
3x_{1} + 0x_{2} + 1x_{3} - 4x_{4} = 3
-4x_{1} + 0x_{2} + 4x_{3} + 1x_{4} = -3
-1x_{1} + 3x_{2} + 0x_{3} - 2x_{4} = -9
0x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} - 1x_{4} = -2

Resposta

(a)
\begin{cases} 2x = -1,\\\\ -4x = -6,\\\ x = -1,\\\\ 3x = 0. \end{cases}
(b)
\begin{cases} 0x_{1} + 3x_{2} - x_{3} - x_{4} = -1,\\\\ 5x_{1} + 2x_{2} + 0x_{3} - 3x_{4} = -6. \end{cases}
(c)
\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 4,\\\\ -4x_{1} - 3x_{2} - 2x_{3} = -1,\\\\ 5x_{1} - 6x_{2} + x_{3} = 1,\\\\ -8x_{1} = 3. \end{cases}
(d)
\begin{cases} 3x_{1} + x_{3} - 4x_{4} = 3,\\\\ -4x_{1} + 4x_{3} + x_{4} = -3,\\\\ - x_{1} + 3x_{2} - 2x_{4} = -9,\\\\ - x_{4} = -2. \end{cases}

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