Em cada parte, encontre o conjunto de soluções da equação linear usando um parâmetro, se necessário.
(a) 3 x_{1}-5 x_{2}+4 x_{3}=7
(b) 3 v-8 w+2 x-y+4 z=0

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de soluções de equações lineares com mais incógnitas que equações, daí surgirem infinitas soluções. O conteúdo é representação paramétrica de soluções de uma única equação linear em várias variáveis. Para resolver, vamos escolher algumas variáveis como parâmetros (variáveis livres) e expressar a restante em função desses parâmetros.

Passo 2

Para (a) temos a equação
3x_{1}-5x_{2}+4x_{3}=7.
Escolhemos x_{2}=s e x_{3}=t, com s,t\in\mathbb{R}. Substituindo,
3x_{1}-5s+4t=7\quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{7+5s-4t}{3}.

Passo 3

Para (b) a equação é
3v-8w+2x-y+4z=0.
Tomamos v=a, w=b, x=c e z=d, com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Substituindo,
3a-8b+2c - y +4d=0\quad\Longrightarrow\quad y=3a-8b+2c+4d.

Resposta

(a) \{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}\mid x_{1}=\tfrac{7+5s-4t}{3},\,x_{2}=s,\,x_{3}=t,\;s,t\in\mathbb{R}\}.
(b) \{(v,w,x,y,z)\in\mathbb{R}^{5}\mid v=a,\,w=b,\,x=c,\,y=3a-8b+2c+4d,\,z=d,\;a,b,c,d\in\mathbb{R}\}.

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