Em cada parte, encontre o conjunto de soluções da equação linear usando um parâmetro, se necessário.
(a) 7 x-5 y=3
(b) -8 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+6 x_{4}=1

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações lineares com menos equações do que incógnitas, de modo que cada solução geral será dada por uma variável básica isolada em função de variáveis livres (parâmetros). Em (a) temos duas incógnitas e uma equação; em (b) temos quatro incógnitas e uma equação. Vamos isolar uma incógnita em cada caso e atribuir parâmetros às demais.

Passo 2

Para (a) 7x - 5y = 3, escolhemos y como variável livre, digamos y = t, com t\in\mathbb{R}. Isolando x:
7x = 3 + 5y = 3 + 5t
x = \frac{3 + 5t}{7}.
Logo, a solução geral em parâmetro t é
(x,y) = \Bigl(\frac{3+5t}{7},\,t\Bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para (b) -8x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3} + 6x_{4} = 1, temos quatro incógnitas e uma equação. Tomamos x_{2}=s, x_{3}=t, x_{4}=u como parâmetros livres, com s,t,u\in\mathbb{R}. Isolando x_{1}:
-8x_{1} = 1 - 2x_{2} + 5x_{3} - 6x_{4} = 1 - 2s + 5t - 6u
x_{1} = \frac{-1 + 2s - 5t + 6u}{8}.
Assim, a solução geral em parâmetros s,t,u é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =\Bigl(\tfrac{-1+2s-5t+6u}{8},\,s,\,t,\,u\Bigr), \quad s,t,u\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) \{(x,y)\mid x=\tfrac{3+5t}{7},\,y=t,\,t\in\mathbb{R}\} (b) \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mid x_{1}=\tfrac{-1+2s-5t+6u}{8},\,x_{2}=s,\,x_{3}=t,\,x_{4}=u,\,s,t,u\in\mathbb{R}\}

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