1-2. Em cada parte, encontre os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge calculando o limite da enésima soma parcial. Se a série convergir, obtenha sua soma.
  1. a) 2+25+25^2+cdots+25^k-1+cdots

Passo 1

A série dada é sumk=1^infty2l(tfrac15r)^k-1, que é uma série geométrica com primeiro termo a=2 e razão r=tfrac15. Vamos achar as quatro primeiras somas parciais, obter a forma fechada de Sn e testar a convergência pelo limite.

Passo 2

Calculando as quatro primeiras somas parciais temos:
S1 = 2
S2 = 2 + 25 = 125
S3 = 125 + 225 = 6225
S4 = 6225 + 2125 = 312125

Passo 3

Para uma série geométrica de primeiro termo a e razão rneq1, a soma parcial é dada por
Sn = a1 - r^n1 - r
Aplicando a=2 e r=tfrac15, fica:
Sn = 21 - (1/5)^n1 - 1/5 = 52l(1 - l(tfrac15r)^nr)

Passo 4

Como l(tfrac15r)^n to 0 quando ntoinfty, o limite das somas parciais é
limntoinftySn = 52
Logo, a série converge e sua soma é tfrac52.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac52.

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