Calcule as integrais Duplas abaixo, e represente graficamente os sólidos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
que representa o volume do sólido sob a superfície sobre o retângulo . O conteúdo é integração iterada de funções contínuas, e vamos primeiro integrar em e depois em .
Passo 2
Vamos calcular a integral interna em . Temos
Sabendo que uma primitiva de é
avaliamos de 0 a 1:
Passo 3
Agora a integral externa em fica
Logo o volume do sólido é tfrac52.
Passo 4
Para representar graficamente, note que a base no plano xy é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,1),(0,1). A superfície é o plano paralelo ao eixo x dado por z = 1 - y, que em y=0 vale z=1 e em y=1 vale z=0. O sólido é, portanto, um prisma reto de comprimento 5 cuja seção transversal no plano y!z é o triângulo retângulo de base 1 e altura 1.
Passo 5
Esse prisma triangular tem área da base tfrac12cdot1cdot1=tfrac12 e comprimento 5, confirmando o volume 5/2.