Calcule as integrais Duplas abaixo, e represente graficamente os sólidos:
integral0^5 integral0^1(1-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^5integral0^1(1 - y),dy,dx
que representa o volume do sólido sob a superfície z = 1 - y sobre o retângulo R = (x,y)mid0 <= x <= 5,;0 <= y <= 1. O conteúdo é integração iterada de funções contínuas, e vamos primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y. Temos
integral0^1(1 - y),dy
Sabendo que uma primitiva de 1 - y é
F(y) = y - y^22,
avaliamos de 0 a 1:
F(1) - F(0) = l(1 - tfrac12r) - 0 = tfrac12

Passo 3

Agora a integral externa em x fica
integral0^5 tfrac12,dx = tfrac12 ;x l|0^5 = tfrac52
Logo o volume do sólido é tfrac52.

Passo 4

Para representar graficamente, note que a base no plano xy é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,1),(0,1). A superfície é o plano paralelo ao eixo x dado por z = 1 - y, que em y=0 vale z=1 e em y=1 vale z=0. O sólido é, portanto, um prisma reto de comprimento 5 cuja seção transversal no plano y!z é o triângulo retângulo de base 1 e altura 1.

Passo 5

Esse prisma triangular tem área da base tfrac12cdot1cdot1=tfrac12 e comprimento 5, confirmando o volume 5/2.

Resposta

tfrac52

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